1. В ∆ ABC AB < BC < AC. Найти ∠A, ∠B, ∠C, если известно, что один из углов треугольника прямой, а другой равен 30°.

1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Так как $AB < BC < AC$, то $\angle C < \angle A < \angle B$. По условию один угол $90^{\circ}$ (самый большой), другой $30^{\circ}$ (самый маленький). $\angle B = 90^{\circ}$ $\angle C = 30^{\circ}$ $\angle A = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$ **Ответ:** $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle B = 90^{\circ}$, $\angle C = 30^{\circ}$. 2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$. Пусть $\angle B = x$, тогда $\angle C = x + 40^{\circ}$. $x + (x + 40^{\circ}) = 90^{\circ}$ $2x = 50^{\circ}$ $x = 25^{\circ}$ (это $\angle B$) $\angle C = 25^{\circ} + 40^{\circ} = 65^{\circ}$ **Ответ:** $\angle B = 25^{\circ}$, $\angle C = 65^{\circ}$. 3. В $\triangle ABC$: $\angle B = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 70^{\circ}) = 20^{\circ}$. $CD$ — биссектриса прямого угла $C$, значит $\angle BCD = 90^{\circ} : 2 = 45^{\circ}$. В $\triangle BCD$: $\angle B = 20^{\circ}$, $\angle BCD = 45^{\circ}$. $\angle BDC = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 45^{\circ}) = 115^{\circ}$. **Ответ:** $20^{\circ}, 45^{\circ}, 115^{\circ}$. 4. Рассмотрим два случая: Случай 1: Основание $x$, боковая сторона $x + 13$. $x + 2(x + 13) = 50$ $3x + 26 = 50$ $3x = 24 \Rightarrow x = 8$. Стороны: 8 см, 21 см, 21 см. (Условие $8+21>21$ верно). Случай 2: Боковая сторона $x$, основание $x + 13$. $2x + (x + 13) = 50$ $3x = 37 \Rightarrow x = 12\frac{1}{3}$. Стороны: $12\frac{1}{3}$ см, $12\frac{1}{3}$ см, $25\frac{1}{3}$ см. (Условие $12\frac{1}{3} + 12\frac{1}{3} > 25\frac{1}{3}$ ложно: $24\frac{2}{3} < 25\frac{1}{3}$, такой треугольник не существует). **Ответ:** 8 см, 21 см, 21 см.