В треугольнике ABC AB < BC < AC. Найти углы A, B, C, если известно, что один из углов треугольника прямой, а другой равен 30 градусов.

1. **Ответ: $\angle A = 90^{\circ}$, $\angle B = 60^{\circ}$, $\angle C = 30^{\circ}$.** В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Так как $AB < BC < AC$, то $\angle C < \angle A < \angle B$ — это неверно, порядок сторон $AB$ (против $\angle C$), $BC$ (против $\angle A$), $AC$ (против $\angle B$) дает зависимость: $\angle C < \angle A < \angle B$. Из условия углы равны $90^{\circ}$, $30^{\circ}$ и $180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$. Расставим их по возрастанию: $30^{\circ} < 60^{\circ} < 90^{\circ}$. Значит: $\angle C = 30^{\circ}$, $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle B = 90^{\circ}$. 2. **Ответ: $\angle B = 25^{\circ}$, $\angle C = 65^{\circ}$.** Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$. Пусть $\angle B = x$, тогда $\angle C = x + 40^{\circ}$. $x + (x + 40^{\circ}) = 90^{\circ}$ $2x = 50^{\circ} \Rightarrow x = 25^{\circ}$ ($\angle B$). $\angle C = 25^{\circ} + 40^{\circ} = 65^{\circ}$. 3. **Ответ: $\angle BCD = 45^{\circ}$.** Так как $\angle C = 90^{\circ}$ и $CD$ — биссектриса, она делит угол пополам. $\angle BCD = 90^{\circ} : 2 = 45^{\circ}$. 4. **Ответ: 24 см, 13 см, 13 см или 18 см, 18 см, 14 см.** **Допущение:** Не указано, какая именно сторона (основание или боковая) меньше другой. Рассмотрим два случая. Пусть $a$ — боковая сторона, $b$ — основание. $P = 2a + b = 50$. Случай 1: Боковая сторона на 13 см меньше основания ($b = a + 13$). $2a + (a + 13) = 50 \Rightarrow 3a = 37 \Rightarrow a = 12\frac{1}{3}$ (не целое, но возможно). Случай 2: Основание на 13 см меньше боковой стороны ($a = b + 13$). $2(b + 13) + b = 50 \Rightarrow 3b + 26 = 50 \Rightarrow 3b = 24 \Rightarrow b = 8$ см. Тогда $a = 8 + 13 = 21$ см. Стороны: 21, 21, 8. (Сумма сторон $21+21 > 8$ — верно). Если «одна на 13 меньше другой» понимать как разницу между $a$ и $b$: $|a - b| = 13$. Решение выше. 5. **Ответ: $\angle A = 35^{\circ}$, $\angle B = 105^{\circ}$, $\angle C = 40^{\circ}$.** Пусть $\angle B = 3x$, тогда $\angle A = x$. Внешний угол при вершине $A$ равен $180^{\circ} - x$. Внешний угол при вершине $B$ равен $180^{\circ} - 3x$. Уравнение: $(180^{\circ} - x) = (180^{\circ} - 3x) + 40^{\circ}$ $-x = -3x + 40^{\circ} \Rightarrow 2x = 40^{\circ} \Rightarrow x = 20^{\circ}$. $\angle A = 20^{\circ}$, $\angle B = 60^{\circ}$. $\angle C = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 60^{\circ}) = 100^{\circ}$. 6. **Ответ: $\angle BDA = 135^{\circ}$, $\angle DAB = 25^{\circ}$, $\angle ABD = 20^{\circ}$.** В $\triangle BCD$ (прямоугольный): $CD = CB$, значит он равнобедренный. $\angle CDB = \angle CBD = (180^{\circ} - 90^{\circ}) : 2 = 45^{\circ}$. $\angle BDA$ — смежный с $\angle CDB$, значит $\angle BDA = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$. В $\triangle ABC$: $\angle A = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 70^{\circ}) = 20^{\circ}$. В $\triangle ABD$: $\angle DAB = 20^{\circ}$, $\angle BDA = 135^{\circ}$. $\angle ABD = 180^{\circ} - (135^{\circ} + 20^{\circ}) = 25^{\circ}$.