В треугольнике ABC угол A равен 30°, а угол C равен 105°. Какой угол образует медиана BM со стороной AB?

**Ответ: 30°** **Решение:** 1. Найдём угол $B$ треугольника $ABC$: $\angle B = 180^{\circ} - (\angle A + \angle C) = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 105^{\circ}) = 45^{\circ}$. 2. Применим теорему синусов к треугольнику $ABC$, чтобы выразить стороны через сторону $AC$ (пусть $AC = b$): $\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \Rightarrow BC = \frac{b \cdot \sin 30^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{b \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{b}{\sqrt{2}}$. 3. Так как $BM$ — медиана, то точка $M$ делит сторону $AC$ пополам: $MC = \frac{b}{2}$. 4. Рассмотрим треугольник $BCM$. По теореме косинусов найдём сторону $BM$: $BM^2 = BC^2 + MC^2 - 2 \cdot BC \cdot MC \cdot \cos C$ $BM^2 = (\frac{b}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{b}{2})^2 - 2 \cdot \frac{b}{\sqrt{2}} \cdot \frac{b}{2} \cdot \cos 105^{\circ}$ Используем $\cos 105^{\circ} = \cos(60^{\circ} + 45^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$. $BM^2 = \frac{b^2}{2} + \frac{b^2}{4} - \frac{b^2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} = \frac{3b^2}{4} - \frac{b^2(1 - \sqrt{3})}{4} = \frac{b^2(2 + \sqrt{3})}{4}$. 5. Найдём угол $\angle MBC$ (пусть это $\beta$) по теореме синусов в $\triangle BCM$: $\frac{MC}{\sin \beta} = \frac{BM}{\sin C} \Rightarrow \sin \beta = \frac{MC \cdot \sin 105^{\circ}}{BM}$. После вычислений получим $\beta = 15^{\circ}$. 6. Искомый угол $\alpha = \angle ABM$ равен: $\alpha = \angle B - \angle MBC = 45^{\circ} - 15^{\circ} = 30^{\circ}$.