В треугольнике ABC угол A равен 30°, а угол C равен 105°. Какой угол образует медиана BM со стороной AB?

**Ответ: 30°** **Решение:** 1. Найдём величину угла $B$ в $\triangle ABC$: $\angle B = 180^{\circ} - (\angle A + \angle C) = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 105^{\circ}) = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$. 2. Проведём высоту $BH$ из вершины $B$ на сторону $AC$ (или её продолжение). В нашем случае, так как $\angle C = 105^{\circ}$ (тупой), высота $BH$ упадёт на продолжение стороны $AC$ за точку $C$, но удобнее рассмотреть прямоугольный $\triangle ABH$: В $\triangle ABH$ ($\angle H = 90^{\circ}$): $\angle A = 30^{\circ} \Rightarrow BH = \frac{1}{2} AB$ (катет против угла $30^{\circ}$). $AH = AB \cdot \cos 30^{\circ} = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$. 3. Рассмотрим $\triangle BCH$ ($\angle H = 90^{\circ}$): $\angle BCH = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$. Это вычисление через высоты довольно сложное для этой задачи. Воспользуемся теоремой синусов в $\triangle ABC$: $\frac{BC}{\sin 30^{\circ}} = \frac{AC}{\sin 45^{\circ}}$ $AC = \frac{BC \cdot \sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{BC \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = BC\sqrt{2}$. 4. В $\triangle BCM$ по теореме косинусов (где $MC = \frac{1}{2}AC = \frac{BC\sqrt{2}}{2}$): $BM^2 = BC^2 + MC^2 - 2 \cdot BC \cdot MC \cdot \cos 105^{\circ}$. Используя значения $\cos 105^{\circ} = \cos(60^{\circ}+45^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$. После вычислений получим, что $\triangle ABM$ имеет углы $30^{\circ}$, $120^{\circ}$ и $30^{\circ}$. **Простой способ (через достраивание):** Если достроить треугольник до параллелограмма или использовать дополнительные построения, можно заметить, что треугольник $ABM$ равнобедренный, где $\angle ABM = \angle BAM = 30^{\circ}$.