В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла А, если ∠С = 71° и BM = AM = MC.

1. Рассмотрим треугольник $BMC$. Так как по условию $BM = MC$, то $\triangle BMC$ — равнобедренный с основанием $BC$. 2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит: $\angle MBC = \angle C = 71^{\circ}$. 3. Найдём угол $BMC$ (сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$): $\angle BMC = 180^{\circ} - (\angle MBC + \angle C) = 180^{\circ} - (71^{\circ} + 71^{\circ}) = 180^{\circ} - 142^{\circ} = 38^{\circ}$. 4. Углы $BMA$ и $BMC$ — смежные, их сумма равна $180^{\circ}$: $\angle BMA = 180^{\circ} - \angle BMC = 180^{\circ} - 38^{\circ} = 142^{\circ}$. 5. Рассмотрим треугольник $ABM$. По условию $BM = AM$, значит $\triangle ABM$ — равнобедренный с основанием $AB$. Углы при основании равны: $\angle A = \angle ABM$. 6. Найдём угол $A$: $\angle A = (180^{\circ} - \angle BMA) : 2 = (180^{\circ} - 142^{\circ}) : 2 = 38^{\circ} : 2 = 19^{\circ}$. **Второй способ:** Так как $BM = AM = MC$, то точка $M$ является центром описанной окружности около $\triangle ABC$. Поскольку $AC$ — диаметр (так как $M$ — середина $AC$ и радиусы равны), то $\angle ABC = 90^{\circ}$. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^{\circ}$: $\angle A = 90^{\circ} - \angle C = 90^{\circ} - 71^{\circ} = 19^{\circ}$. **Ответ:** 19°