В треугольнике ABC угол A равен 30 град., а угол C равен 105 град. Какой угол образует медиана BM со стороной AB?

1. Найдем третий угол треугольника $ABC$: $\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (30^\circ + 105^\circ) = 45^\circ$. 2. Проведем высоту $CH$ к стороне $AB$. В прямоугольном $\triangle AHC$ ($\angle H=90^\circ$): $CH = AC \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2} AC$. 3. В прямоугольном $\triangle BHC$ ($\angle H=90^\circ$): Так как $\angle B = 45^\circ$, то $\triangle BHC$ — равнобедренный, $BH = CH$. $BC = \frac{CH}{\sin 45^\circ} = CH \cdot \sqrt{2}$. 4. Используем теорему синусов для $\triangle ABC$: $\frac{AC}{\sin 45^\circ} = \frac{BC}{\sin 30^\circ} \Rightarrow AC = BC \cdot \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = BC \cdot \frac{\sqrt{2}/2}{1/2} = BC\sqrt{2}$. 5. Рассмотрим $\triangle ABM$ и $\triangle MBC$. Пусть $\angle ABM = \alpha$, тогда $\angle MBC = 45^\circ - \alpha$. По теореме синусов в $\triangle ABM$: $\frac{AM}{\sin \alpha} = \frac{BM}{\sin 30^\circ} \Rightarrow AM = \frac{BM \cdot \sin 30^\circ}{\sin \alpha}$. 6. По теореме синусов в $\triangle MBC$: $\frac{MC}{\sin (45^\circ - \alpha)} = \frac{BM}{\sin 105^\circ} \Rightarrow MC = \frac{BM \cdot \sin (45^\circ - \alpha)}{\sin 105^\circ}$. 7. Так как $BM$ — медиана, то $AM = MC$: $\frac{\sin 30^\circ}{\sin \alpha} = \frac{\sin (45^\circ - \alpha)}{\sin 105^\circ}$. 8. Учитывая, что $\sin 105^\circ = \cos 15^\circ$: $\frac{1}{2 \sin \alpha} = \frac{\sin 45^\circ \cos \alpha - \cos 45^\circ \sin \alpha}{\cos 15^\circ}$. $\cos 15^\circ = 2 \sin \alpha (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha) = \sqrt{2} \sin \alpha \cos \alpha - \sqrt{2} \sin^2 \alpha$. $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - \cos 2\alpha)$. $\sqrt{2} \cos 15^\circ = \sin 2\alpha + \cos 2\alpha - 1$. При $\alpha = 15^\circ$: $\angle ABM = 15^\circ$. **Ответ: 15^\circ**