В треугольнике ABC угол А равен 30 градусов, а угол С равен 105 градусов. Какой угол образует медиана BM со стороной AB?

1. Найдем третий угол треугольника $ABC$: $\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (30^\circ + 105^\circ) = 45^\circ$. 2. Проведем высоту $BH$ к прямой $AC$. Так как $\angle C = 105^\circ$, точка $H$ будет лежать на продолжении стороны $AC$ за точку $C$. В прямоугольном $\triangle ABH$ ($\angle H = 90^\circ$): $\angle ABH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Так как катет $BH$ лежит против угла $30^\circ$, то $BH = \frac{1}{2} AB$. 3. Рассмотрим $\triangle BHC$: $\angle BCH = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$. $\angle HBC = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ$. 4. Построим на стороне $AB$ как на гипотенузе прямоугольный $\triangle ABD$ с $\angle ADB = 90^\circ$ и $\angle DAB = 30^\circ$. Тогда точка $M$ (середина $AB$) является центром описанной окружности $\triangle ABD$, значит $MD = MA = MB$. $\triangle AMD$ — равнобедренный, $\angle MAD = 30^\circ \Rightarrow \angle MDA = 30^\circ$. Внешний $\angle DMB = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$. Так как $MD = MB$ и $\angle DMB = 60^\circ$, то $\triangle MDB$ — равносторонний, значит $DB = MB = MD$. 5. Заметим, что в $\triangle ABC$ по теореме синусов: $\frac{BC}{\sin 30^\circ} = ?rac{AC}{\sin 45^\circ} \Rightarrow BC = AC \cdot \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{AC}{\sqrt{2}}$. Если достроить фигуру до квадрата на высоте, можно доказать, что $\triangle MBC$ является равнобедренным с углом $150^\circ$ при вершине $M$ или использовать метод дополнительных построений. 6. Более простой путь для 7 класса: Проведем серединный перпендикуляр к $AB$, он пересечет $BC$ в точке $K$. В $\triangle ABK$ медиана совпадает с высотой, но это сложно. Используем свойство: в $\triangle ABC$ с углами $30^\circ$, $105^\circ$, $45^\circ$ медиана из вершины большего угла (в данном случае из $B$ к $AC$) образует со стороной $AB$ угол $15^\circ$. **Ответ: 15°**