В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите величину угла A, если ∠C = 55° и BM = AM = MC. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 35 **Решение:** 1. Рассмотрим треугольник $BMC$. По условию $BM = MC$, значит, этот треугольник равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle MBC = \angle C = 55^\circ$. 2. Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Найдем угол $BMC$: $\angle BMC = 180^\circ - (55^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. 3. Углы $BMA$ и $BMC$ — смежные, их сумма равна $180^\circ$. Найдем угол $BMA$: $\angle BMA = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$. 4. Рассмотрим треугольник $ABM$. По условию $AM = BM$, значит, он тоже равнобедренный. Углы при его основании $AB$ равны: $\angle A = \angle ABM$. 5. Сумма углов в треугольнике $ABM$ равна $180^\circ$. Пусть $\angle A = x$, тогда: $x + x + 110^\circ = 180^\circ$ $2x = 70^\circ$ $x = 35^\circ$ **Второй способ (свойство медианы):** Так как медиана $BM$ равна половине стороны $AC$ ($BM = AM = MC$), то треугольник $ABC$ — прямоугольный с прямым углом $B$. Следовательно, $\angle A = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$.