Вариант 1. 1. В треугольнике ABC, угол A - прямой. AB=8 см, BC = 10 см. Найдите AC, sin C, cos C.

1. **Ответ: $AC = 6$ см; $\sin C = 0,8$; $\cos C = 0,6$.** В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $A=90^\circ$): - По теореме Пифагора $AC^2 + AB^2 = BC^2$: $AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ (см). - Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: $\sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{8}{10} = 0,8$. - Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: $\cos C = \frac{AC}{BC} = \frac{6}{10} = 0,6$. 2. **Ответ: $\sin \alpha = \frac{\sqrt{11}}{6}$; $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sqrt{11}}{5}$.** Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: - $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{5}{6})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{36}} = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6}$ (для острых углов). - Тангенс равен отношению синуса к косинусу: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{11}}{6} : \frac{5}{6} = \frac{\sqrt{11}}{5}$. 3. **Ответ: $AB = 21$.** **Допущение:** Поскольку в 3-й задаче дан только $\sin B$ и противолежащая сторона $AC$, но не указан вид треугольника, применим определение синуса для прямоугольного треугольника с прямым углом $C$. В прямоугольном $\triangle ABC$ (где $\angle C = 90^\circ$): $\sin B = \frac{AC}{AB} \implies AB = \frac{AC}{\sin B}$ $AB = 12 : \frac{4}{7} = 12 \cdot \frac{7}{4} = 3 \cdot 7 = 21$.