В треугольнике ABC, угол C - прямой. AC=12 см, BC = 5 см. Найдите AC, sinA, cosA.

1. В треугольнике $ABC$ угол $C$ — прямой. Дано: $AC = 12$ см, $BC = 5$ см. Найдите $AB$, $\sin A$, $\cos A$. По теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$ $AB^2 = 12^2 + 5^2$ $AB^2 = 144 + 25$ $AB^2 = 169$ $AB = \sqrt{169}$ $AB = 13$ см $\sin A = \frac{противолежащий катет}{гипотенуза} = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{13}$ $\cos A = \frac{прилежащий катет}{гипотенуза} = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{13}$ **Ответ: $AB = 13$ см, $\sin A = \frac{5}{13}$, $\cos A = \frac{12}{13}$** 2. Дано: $\sin \alpha = \frac{3}{7}$. Найдите $\cos \alpha$, $\text{tg} \alpha$. Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ $\left(\frac{3}{7}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1$ $\frac{9}{49} + \cos^2 \alpha = 1$ $\cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{49}$ $\cos^2 \alpha = \frac{49 - 9}{49}$ $\cos^2 \alpha = \frac{40}{49}$ $\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{40}{49}} = \pm\frac{\sqrt{40}}{7} = \pm\frac{2\sqrt{10}}{7}$ Допущение: если не указано иное, предполагаем, что угол острый, поэтому $\cos \alpha > 0$. $\cos \alpha = \frac{2\sqrt{10}}{7}$ $\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{7}}{\frac{2\sqrt{10}}{7}} = \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{2\sqrt{10}} = \frac{3}{2\sqrt{10}}$ Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{3}{2\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{2\sqrt{10}\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{2 \cdot 10} = \frac{3\sqrt{10}}{20}$ **Ответ: $\cos \alpha = \frac{2\sqrt{10}}{7}$, $\text{tg} \alpha = \frac{3\sqrt{10}}{20}$** 3. В треугольнике $ABC$ $\cos A = \frac{3}{5}$, $AC=9$. Найдите $AB$. Косинус угла $A$ в прямоугольном треугольнике $ABC$ (предполагаем, что угол $C$ прямой, так как это частая практика в таких задачах, если не указано иное) определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos A = \frac{AC}{AB}$ Подставим известные значения: $\frac{3}{5} = \frac{9}{AB}$ Чтобы найти $AB$, можно использовать перекрестное умножение: $3 \cdot AB = 5 \cdot 9$ $3 \cdot AB = 45$ $AB = \frac{45}{3}$ $AB = 15$ **Ответ: $AB = 15$**