1. В треугольнике ABC, угол А - прямой, AB=8 см, BC=10 см. Найдите AC, sin C, cos C.

1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($∠ A = 90^{\circ}$): По теореме Пифагора: $BC^2 = AB^2 + AC^2 → AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см. $\sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{8}{10} = 0,8$ $\cos C = \frac{AC}{BC} = \frac{6}{10} = 0,6$ Ответ: $AC = 6$ см, $\sin C = 0,8$, $\cos C = 0,6$. 2. Дано: $\cos \alpha = \frac{5}{6}$. Найти $\sin \alpha$, $tg \alpha$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{5}{6})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{36}} = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6}$ $tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{11}}{6} : \frac{5}{6} = \frac{\sqrt{11}}{5}$ Ответ: $\sin \alpha = \frac{\sqrt{11}}{6}$, $tg \alpha = \frac{\sqrt{11}}{5}$. 3. В треугольнике $ABC$ $\sin B = \frac{4}{7}$, $AC = 12$. Найти $AB$. Допущение: так как задача из темы тригонометрических функций острого угла, предположим, что треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом $C$. Тогда $\sin B = \frac{AC}{AB}$. $AB = \frac{AC}{\sin B} = 12 : \frac{4}{7} = \frac{12 \cdot 7}{4} = 3 \cdot 7 = 21$. Ответ: $AB = 21$.