427. Докажите, что значение выражения: а) 1/(3√3-4) - 1/(3√3+4) есть число рациональное; б) 1/(5-2√6) - 1/(5+2√6) есть число иррациональное.

Для доказательства преобразуем выражения, избавившись от иррациональности в знаменателе. а) $\frac{1}{3\sqrt{3}-4} - \frac{1}{3\sqrt{3}+4}$ Приведем к общему знаменателю: $(3\sqrt{3}-4)(3\sqrt{3}+4) = (3\sqrt{3})^2 - 4^2 = 27 - 16 = 11$. Числитель: $(3\sqrt{3}+4) - (3\sqrt{3}-4) = 3\sqrt{3} + 4 - 3\sqrt{3} + 4 = 8$. Итоговое выражение: $\frac{8}{11}$. Так как $\frac{8}{11}$ можно представить в виде отношения целых чисел, это рациональное число. Доказано. б) $\frac{1}{5-2\sqrt{6}} - \frac{1}{5+2\sqrt{6}}$ Приведем к общему знаменателю: $(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6}) = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - (4 \cdot 6) = 25 - 24 = 1$. Числитель: $(5+2\sqrt{6}) - (5-2\sqrt{6}) = 5 + 2\sqrt{6} - 5 + 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$. Итоговое выражение: $4\sqrt{6}$. Так как $4\sqrt{6}$ содержит корень из числа, которое не является полным квадратом, это число иррациональное. Доказано.