Решите уравнение cos x + 2 cos(2x - pi/3) = sqrt(3) sin 2x - 1

Ответ: а) $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; б) $-4\pi; -\frac{14\pi}{3}$. Решение: а) Раскроем косинус разности в левой части уравнения по формуле $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$: $\cos x + 2 \left( \cos 2x \cos \frac{\pi}{3} + \sin 2x \sin \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{3} \sin 2x - 1$ Подставим значения $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $\cos x + 2 \left( \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x \right) = \sqrt{3} \sin 2x - 1$ $\cos x + \cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = \sqrt{3} \sin 2x - 1$ Упростим уравнение: $\cos x + \cos 2x = -1$ $\cos x + 2\cos^2 x - 1 = -1$ $2\cos^2 x + \cos x = 0$ $\cos x (2\cos x + 1) = 0$ Получаем две серии решений: 1) $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $2\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ *Примечание:* При преобразовании выражения $\cos x + \cos 2x + 1 = 0$ корень $\cos x = 0$ дает $\sin 2x = 0$, что соответствует исходному уравнению. Проверим исходное: если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Подставим в упрощенное $\cos x + \cos 2x = -1$: $0 + \cos(\pi + 2\pi k) = -1 \Rightarrow -1 = -1$ (верно). б) Отберем корни на отрезке $[-5\pi; -3,5\pi]$: 1. Для $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$: - $k = -5: x = -4,5\pi$ (входит) - $k = -4: x = -3,5\pi$ (входит) 2. Для $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$: - $n = -3: x = \frac{2\pi}{3} - 6\pi = -\frac{16\pi}{3} \approx -5,33\pi$ (не входит) - $n = -2: x = \frac{2\pi}{3} - 4\pi = -\frac{10\pi}{3} \approx -3,33\pi$ (не входит) 3. Для $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$: - $n = -2: x = -\frac{2\pi}{3} - 4\pi = -\frac{14\pi}{3} \approx -4,66\pi$ (входит)