Решите уравнение cos 2x - √2 cos(3π/2 + x) - 1 = 0

### Задание 1 **Ответ:** **а) $x = \pi k, x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi m, \text{где } k, n, m \in \mathbb{Z}$** **б) $2\pi, \frac{9\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}, 3\pi$** **Решение:** а) Используем формулу приведения $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x$ и формулу двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$: $$(1 - 2\sin^2 x) - \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$$ $$-2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x = 0$$ $$\sin x(2\sin x + \sqrt{2}) = 0$$ 1) $\sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $2\sin x = -\sqrt{2} \implies \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \implies x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$ и $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m$ (что эквивалентно $x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$ и $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m$) б) Отбор корней на отрезке $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$: - Из $x = \pi k$: $2\pi$ и $3\pi$. - Из $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$: при $n=1, x = \frac{7\pi}{4}$ (входит), при $n=2, x = \frac{15\pi}{4}$ (не входит). - Из $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m$: при $m=1, x = \frac{5\pi}{4}$ (не входит), при $m=2, x = \frac{13\pi}{4}$ (не входит). --- ### Задание 2 **Ответ:** **а) $x = \pi k, x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m, \text{где } k, n, m \in \mathbb{Z}$** **б) $\pi, \frac{5\pi}{4}, 2\pi$** **Решение:** а) Используем формулу приведения $\cos\left(2x - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} - 2x\right) = -\sin 2x$: $$-\sin 2x = \sqrt{2} \sin x$$ $$-2 \sin x \cos x - \sqrt{2} \sin x = 0$$ $$\sin x(2\cos x + \sqrt{2}) = 0$$ 1) $\sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \implies x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ б) Отбор корней на отрезке $\left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$: - Из $x = \pi k$: $\pi$ и $2\pi$. - Из $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$: $x = \frac{3\pi}{4}$. - Из $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m$: при $m=1, x = \frac{5\pi}{4}$.