Реши уравнение cos2x + √2cos(π/2 + x) + 1 = 0 и найди корни, принадлежащие отрезку [2π; 3,5π].

Решаем уравнение по частям: a) Сначала решим уравнение $\cos 2x + \sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{2} + x) + 1 = 0$. Используем формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x$ и формулу двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$. Тогда уравнение примет вид: $$1 - 2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x + 1 = 0$$ $$2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x - 2 = 0$$ Введём замену $t = \sin x$, тогда уравнение будет выглядеть так: $$2t^2 + \sqrt{2}t - 2 = 0$$ Решим квадратное уравнение относительно $t$: $$t = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{(\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{2 + 16}}{4} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{18}}{4} = \frac{-\sqrt{2} \pm 3\sqrt{2}}{4}$$ $$t_1 = \frac{-\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$t_2 = \frac{-\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{4} = \frac{-4\sqrt{2}}{4} = -\sqrt{2}$$ Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $t_2 = -\sqrt{2}$ не является решением. Тогда $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ б) Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку $[2\pi; 3.5\pi]$. Для $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$: Если $k = 1$, то $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} = 2.25\pi$. Этот корень принадлежит отрезку $[2\pi; 3.5\pi]$. Если $k = 2$, то $x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4} = 4.25\pi$. Этот корень не принадлежит отрезку $[2\pi; 3.5\pi]$. Для $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$: Если $k = 1$, то $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4} = 2.75\pi$. Этот корень принадлежит отрезку $[2\pi; 3.5\pi]$. Если $k = 2$, то $x = \frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{19\pi}{4} = 4.75\pi$. Этот корень не принадлежит отрезку $[2\pi; 3.5\pi]$. **Ответ:** а) $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{9\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$