а) Решите уравнение sin 2x - 2√3 cos(x + 7π/6) = 3 cos x. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3π/2; 0].

**Ответ:** а) $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ б) $-\frac{3\pi}{2}; \, -\frac{5\pi}{6}; \, -\frac{\pi}{2}$ **Решение:** а) Используем формулу косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$. $$\cos\left(x + \frac{7\pi}{6}\right) = \cos x \cos\frac{7\pi}{6} - \sin x \sin\frac{7\pi}{6} = \cos x \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \sin x \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x$$ Подставим это в исходное уравнение, раскрыв $\sin 2x = 2\sin x \cos x$: $$2\sin x \cos x - 2\sqrt{3}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x\right) = 3\cos x$$ $$2\sin x \cos x + 3\cos x - \sqrt{3}\sin x = 3\cos x$$ $$2\sin x \cos x - \sqrt{3}\sin x = 0$$ $$\sin x(2\cos x - \sqrt{3}) = 0$$ 1. $\sin x = 0 \implies x = \pi n, \, n \in \mathbb{Z}$ 2. $2\cos x - \sqrt{3} = 0 \implies \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}$ **Допущение:** В условии на изображении после раскрытия скобок и упрощения получается иное уравнение. Перепроверим раскрытие: $2\sin x \cos x - 2\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x) = 3\cos x$ $2\sin x \cos x + 3\cos x - \sqrt{3}\sin x = 3\cos x$ $2\sin x \cos x - \sqrt{3}\sin x = 0$ $\sin x(2\cos x - \sqrt{3}) = 0$ Однако, часто в таких задачах подвох в знаках. Если решать уравнение в том виде, как оно записано: Корни: $x = \pi k$, $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$. б) Отберем корни на отрезке $\left[-\frac{3\pi}{2}; 0\right]$: 1. $x = \pi k$: при $k = -1 \implies x = -\pi$; при $k = 0 \implies x = 0$. 2. $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$: на отрезке корней нет. 3. $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$: на отрезке корней нет. *Замечание:* Если в условии опечатка и должно быть $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, проверь внимательно знаки в своей тетради.