Решите уравнение (1 - cos 2x + sqrt(2) sin x) / (sqrt(2) cos x - 1) = 0. Укажите корни уравнения, принадлежащие интервалу (-pi; pi/2).

**Ответ:** **а)** $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; **б)** $0$. **Решение:** **а)** Дано уравнение: $$\frac{1 - \cos 2x + \sqrt{2} \sin x}{\sqrt{2} \cos x - 1} = 0$$ 1. Установим ограничения (ОДЗ): знаменатель не равен нулю. $$\sqrt{2} \cos x - 1 \neq 0 \implies \cos x \neq \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \cos x \neq \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x \neq \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$ 2. Приравняем числитель к нулю: $$1 - \cos 2x + \sqrt{2} \sin x = 0$$ Используем формулу двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$: $$1 - (1 - 2\sin^2 x) + \sqrt{2} \sin x = 0$$ $$2\sin^2 x + \sqrt{2} \sin x = 0$$ Вынесем $\sin x$ за скобки: $$\sin x (2\sin x + \sqrt{2}) = 0$$ 3. Получаем два случая: - $\sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$ - $2\sin x + \sqrt{2} = 0 \implies \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \implies x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ или $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ 4. Проверим корни по ОДЗ: - При $x = \pi n$, $\cos x$ равен $1$ или $-1$, что не равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти корни подходят. - При $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, что противоречит ОДЗ. Эти корни посторонние. - При $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, что не равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти корни подходят, но обычно их записывают вместе со вторым случаем. Однако, так как в пункте б) нам нужен интервал, проверим их отдельно. Итоговые корни: $x = \pi n$ и $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$. **б)** Отберем корни на интервале $(-\pi; \frac{\pi}{2})$: - Из серии $x = \pi n$: при $n=0$ получаем $x = 0$. Подходит. При $n=-1$, $x = -\pi$ (не входит, скобка круглая). - Из серии $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$: при $k=0$ получаем $x = -\frac{3\pi}{4}$. Это значение больше $-\pi$, так как $-0,75\pi > -1\pi$. Подходит. **Допущение:** В пункте а) в итоговый ответ чаще записывают только те серии, что прошли проверку. Проверим еще раз: $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ дает две точки на круге. Одна ($x = -\pi/4$) исключается, вторая ($x = -3\pi/4$) остается. Значит, корни: $\pi n$ и $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$. На указанном интервале лежат $-\frac{3\pi}{4}$ и $0$.