Решите уравнение $2 \sin^2 x + \sqrt{2} \sin(2\pi - x) + \sin 2x = \sqrt{2} \cos x - \cos 2x$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left(-\frac{\pi}{2}; 2\pi\right)$.

а) Для решения уравнения $2 \sin^2 x + \sqrt{2} \sin(2\pi - x) + \sin 2x = \sqrt{2} \cos x - \cos 2x$ применим тригонометрические формулы: * $\sin(2\pi - x) = -\sin x$ * $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ * $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ Подставим эти выражения в уравнение: $$2 \sin^2 x - \sqrt{2} \sin x + 2 \sin x \cos x = \sqrt{2} \cos x - (1 - 2 \sin^2 x)$$ $$2 \sin^2 x - \sqrt{2} \sin x + 2 \sin x \cos x = \sqrt{2} \cos x - 1 + 2 \sin^2 x$$ Вычтем $2 \sin^2 x$ из обеих частей уравнения: $$- \sqrt{2} \sin x + 2 \sin x \cos x = \sqrt{2} \cos x - 1$$ Перенесем все члены в левую часть: $$- \sqrt{2} \sin x + 2 \sin x \cos x - \sqrt{2} \cos x + 1 = 0$$ Перегруппируем члены: $$(2 \sin x \cos x - \sqrt{2} \cos x) - (\sqrt{2} \sin x - 1) = 0$$ Вынесем общий множитель $\sqrt{2} \cos x$ из первой скобки: $$\sqrt{2} \cos x (\sqrt{2} \sin x - 1) - (\sqrt{2} \sin x - 1) = 0$$ Вынесем общий множитель $(\sqrt{2} \sin x - 1)$: $$(\sqrt{2} \sin x - 1)(\sqrt{2} \cos x - 1) = 0$$ Это уравнение распадается на два более простых уравнения: 1) $\sqrt{2} \sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 2) $\sqrt{2} \cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Решения для $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$ Решения для $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ **Ответ:** $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ и $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. б) Укажем корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left(-\frac{\pi}{2}; 2\pi\right)$. Для $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$: При $n=0$: $x = \frac{\pi}{4}$. Этот корень принадлежит промежутку $\left(-\frac{\pi}{2}; 2\pi\right)$, так как $-\frac{2\pi}{4} < \frac{\pi}{4} < \frac{8\pi}{4}$. Для $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$: При $n=0$: $x = -\frac{\pi}{4}$. Этот корень принадлежит промежутку $\left(-\frac{\pi}{2}; 2\pi\right)$, так как $-\frac{2\pi}{4} < -\frac{\pi}{4} < \frac{8\pi}{4}$. При $n=1$: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$. Этот корень принадлежит промежутку $\left(-\frac{\pi}{2}; 2\pi\right)$, так как $-\frac{2\pi}{4} < \frac{7\pi}{4} < \frac{8\pi}{4}$. Для $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$: При $n=0$: $x = \frac{3\pi}{4}$. Этот корень принадлежит промежутку $\left(-\frac{\pi}{2}; 2\pi\right)$, так как $-\frac{2\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} < \frac{8\pi}{4}$. **Ответ:** Корни, принадлежащие промежутку $\left(-\frac{\pi}{2}; 2\pi\right)$, это $-\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\frac{7\pi}{4}$.