Решите уравнение $2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin(2\pi - x) + \sin 2x = \sqrt{2}\cos x - \cos 2x$

а) Решим уравнение: $$2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin(2\pi - x) + \sin 2x = \sqrt{2}\cos x - \cos 2x$$ Используем формулы приведения и формулы двойного угла: $$\sin(2\pi - x) = -\sin x$$ $$\sin 2x = 2\sin x \cos x$$ $$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$$ Подставим их в уравнение: $$2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x + 2\sin x \cos x = \sqrt{2}\cos x - (1 - 2\sin^2 x)$$ $$2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x + 2\sin x \cos x = \sqrt{2}\cos x - 1 + 2\sin^2 x$$ Вычтем $2\sin^2 x$ из обеих частей: $$- \sqrt{2}\sin x + 2\sin x \cos x = \sqrt{2}\cos x - 1$$ Перенесем все в левую часть: $$2\sin x \cos x - \sqrt{2}\sin x - \sqrt{2}\cos x + 1 = 0$$ Вынесем общие множители: $$2\sin x \cos x - \sqrt{2}(\sin x + \cos x) + 1 = 0$$ Введем замену: $t = \sin x + \cos x$. Тогда $t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x \cos x$. Отсюда $2\sin x \cos x = t^2 - 1$. Подставим это в уравнение: $$(t^2 - 1) - \sqrt{2}t + 1 = 0$$ $$t^2 - \sqrt{2}t = 0$$ $$t(t - \sqrt{2}) = 0$$ Значит, $t = 0$ или $t = \sqrt{2}$. Случай 1: $t = 0$ $$\sin x + \cos x = 0$$ Разделим на $\cos x$ (при $\cos x = 0$, $\sin x = \pm 1$, тогда $\sin x + \cos x \ne 0$, значит $\cos x \ne 0$): $$\operatorname{tg} x + 1 = 0$$ $$\operatorname{tg} x = -1$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ Случай 2: $t = \sqrt{2}$ $$\sin x + \cos x = \sqrt{2}$$ Можно записать $\sin x + \cos x$ как $\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$. $$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$$ $$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$$ $$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$$ $$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ **Ответ:** $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ б) Укажем корни, принадлежащие промежутку $(-\frac{\pi}{2}; 2\pi)$. Для серии корней $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$: При $n = 0: x = -\frac{\pi}{4}$. Этот корень принадлежит промежутку $(-\frac{\pi}{2}; 2\pi)$. При $n = 1: x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$. Этот корень принадлежит промежутку $(-\frac{\pi}{2}; 2\pi)$. При $n = 2: x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$. Этот корень принадлежит промежутку $(-\frac{\pi}{2}; 2\pi)$. При $n = -1: x = -\frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{5\pi}{4}$. Этот корень не принадлежит промежутку $(-\frac{\pi}{2}; 2\pi)$. Для серии корней $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$: При $k = 0: x = \frac{\pi}{4}$. Этот корень принадлежит промежутку $(-\frac{\pi}{2}; 2\pi)$. При $k = 1: x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$. Этот корень не принадлежит промежутку $(-\frac{\pi}{2}; 2\pi)$. При $k = -1: x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4}$. Этот корень не принадлежит промежутку $(-\frac{\pi}{2}; 2\pi)$. Корни, принадлежащие промежутку $(-\frac{\pi}{2}; 2\pi)$, это: $$-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$$ **Ответ:** $-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$