Реши уравнение sin(2x) / cos(π/2 + x) = √3 и укажи корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5π/2; -π].

a) Давай решим уравнение $\frac{sin 2x}{cos(\frac{\pi}{2} + x)} = \sqrt{3}$. Сначала упростим выражение. Мы знаем, что $cos(\frac{\pi}{2} + x) = -sin(x)$. Тогда уравнение можно переписать как: $\frac{sin 2x}{-sin x} = \sqrt{3}$ Используем формулу двойного угла: $sin 2x = 2sin x \cdot cos x$. Подставим это в уравнение: $\frac{2sin x \cdot cos x}{-sin x} = \sqrt{3}$ Сокращаем $sin x$ (с условием, что $sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi n$, где $n$ - целое число): $-2cos x = \sqrt{3}$ $cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ Теперь найдем $x$. Это табличное значение косинуса. $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ или $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n$ - целое число. б) Теперь укажем корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{5\pi}{2}; -\pi]$. Перепишем отрезок: $[-2.5\pi; -\pi]$. Начнем с $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$. Чтобы попасть в нужный отрезок, нужно взять $n = -1$: $x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi - 12\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6}$. Проверим, попадает ли это значение в отрезок: $-2.5\pi < -\frac{7\pi}{6} < -\pi$, то есть $-2.5\pi < -1.16\pi < -\pi$. Да, подходит. Теперь рассмотрим $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$. Чтобы попасть в нужный отрезок, нужно взять $n = -1$: $x = -\frac{5\pi}{6} - 2\pi = \frac{-5\pi - 12\pi}{6} = -\frac{17\pi}{6}$. Проверим, попадает ли это значение в отрезок: $-2.5\pi < -\frac{17\pi}{6} < -\pi$, то есть $-2.5\pi < -2.83\pi < -\pi$. Не подходит. **Ответ:** a) $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n$ - целое число; б) $x = -\frac{7\pi}{6}$