Решите уравнение $2 \sin^2 x + \sqrt{2} \sin(2\pi - x) + \sin 2x = \sqrt{2} \cos x - \cos 2x$

а) Решим уравнение: $$2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin(2\pi - x) + \sin 2x = \sqrt{2}\cos x - \cos 2x$$ Используем формулы приведения и двойного угла: $$\sin(2\pi - x) = -\sin x$$ $$\sin 2x = 2\sin x \cos x$$ $$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$$ Подставим их в уравнение: $$2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x + 2\sin x \cos x = \sqrt{2}\cos x - (1 - 2\sin^2 x)$$ $$2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x + 2\sin x \cos x = \sqrt{2}\cos x - 1 + 2\sin^2 x$$ Вычтем $2\sin^2 x$ из обеих частей: $$- \sqrt{2}\sin x + 2\sin x \cos x = \sqrt{2}\cos x - 1$$ Перенесем все члены в левую часть: $$2\sin x \cos x - \sqrt{2}\sin x - \sqrt{2}\cos x + 1 = 0$$ Вынесем общие множители: $$\sqrt{2}\sin x (\sqrt{2}\cos x - 1) - 1 (\sqrt{2}\cos x - 1) = 0$$ $$(\sqrt{2}\sin x - 1)(\sqrt{2}\cos x - 1) = 0$$ Это произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: Случай 1: $$\sqrt{2}\sin x - 1 = 0$$ $$\sqrt{2}\sin x = 1$$ $$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} $$ $$x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ Случай 2: $$\sqrt{2}\cos x - 1 = 0$$ $$\sqrt{2}\cos x = 1$$ $$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ **Ответ:** $x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$ б) Укажем корни, принадлежащие промежутку $(-\frac{\pi}{2}; 2\pi)$. Рассмотрим решения для $\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$: При $n=0$: $x = \frac{\pi}{4}$ При $n=1$: $x = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ При $n=2$: $x = 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$ (не входит в промежуток) При $n=-1$: $x = -\pi - \frac{\pi}{4} = -\frac{5\pi}{4}$ (не входит в промежуток) Рассмотрим решения для $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$: При $k=0$: $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = -\frac{\pi}{4}$ При $k=1$: $x = 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$ (не входит в промежуток) и $x = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$ При $k=-1$: $x = -2\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{7\pi}{4}$ (не входит в промежуток) и $x = -2\pi - \frac{\pi}{4} = -\frac{9\pi}{4}$ (не входит в промежуток) Корни, принадлежащие промежутку $(-\frac{\pi}{2}; 2\pi)$: $-\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\frac{7\pi}{4}$. **Ответ:** $-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$