Точка S равноудалена от сторон трапеции ABCD (BC || AD) и находится на расстоянии √7 см от её плоскости. Найдите расстояние от точки S до сторон трапеции, если CD = 12 см, ∠ADC = 45°.

Question

Вопрос:

Точка S равноудалена от сторон трапеции ABCD (BC || AD) и находится на расстоянии √7 см от её плоскости. Найдите расстояние от точки S до сторон трапеции, если CD = 12 см, ∠ADC = 45°.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: 3 см** **Решение:** 1. Пусть трапеция $ABCD$ — основание, $S$ — точка вне её плоскости. По условию $BC \parallel AD$. Проведём высоты в трапеции и опустим перпендикуляр $SO$ на плоскость трапеции. Так как точка $S$ равноудалена от всех сторон трапеции, то точка $O$ является центром вписанной в трапецию окружности, а расстояние от $S$ до сторон — это апофема $SK$. Тогда $OK$ — это радиус вписанной окружности $r$. 2. Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности: $h = 2r$. 3. В трапеции $ABCD$ проведём высоту $CE$ из вершины $C$ на основание $AD$. В прямоугольном $\triangle CED$: $CE = CD \cdot \sin(\angle ADC) = 12 \cdot \sin(45^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \text{ см}$. 4. Так как $h = 6\sqrt{2}$, то радиус вписанной окружности $r = OK = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ см}$. 5. Расстояние от точки $S$ до плоскости трапеции — это перпендикуляр $SO = \sqrt{7} \text{ см}$. 6. Расстояние от точки $S$ до сторон трапеции (апофема $SK$) находим по теореме Пифагора из $\triangle SOK$: $SK = \sqrt{SO^2 + OK^2} = \sqrt{(\sqrt{7})^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{7 + 18} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$. **Допущение:** В задаче 4 спрашивается расстояние от точки $S$ до сторон трапеции. Расстояние $SO = \sqrt{7}$ дано в условии как расстояние до плоскости.

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения