1.Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна 2см, проведена прямая ОМ, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки М до вершин квадрата, если ОМ = 3см. (Ответ: √11см)

1. **Ответ: $\sqrt{13}$ см** **Допущение:** В условии задачи опечатка. Если сторона квадрата $a = 2$ см, а высота $OM = 3$ см, то расстояние до вершин будет $\sqrt{11}$ см только при условии, что диагональ равна 2, а не сторона. Решим по стандартным правилам геометрии. 1) Найдем половину диагонали квадрата $OC$. Диагональ $AC = a\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см. Тогда $OC = \frac{AC}{2} = \sqrt{2}$ см. 2) Из прямоугольного $\triangle MOC$ (где $\angle MOC = 90^\circ$) по теореме Пифагора: $MC = \sqrt{OM^2 + OC^2} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 + 2} = \sqrt{11}$ см. 2. **Ответ: $3\sqrt{3}$ см; $6$ см** 1) Расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ — это высота $AH$ равностороннего $\triangle ABC$. $AH = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см. 2) Расстояние от точки $E$ до прямой $BC$ — это отрезок $EH$. Так как $AE \perp (ABC)$, то по теореме о трех перпендикулярах $EH \perp BC$. Из $\triangle EAH$ ($\angle EAH = 90^\circ$): $EH = \sqrt{AE^2 + AH^2} = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6$ см. 3. **Доказательство:** 1) По условию $KD \perp \alpha$, следовательно $KD$ перпендикулярен любой прямой в плоскости $\alpha$, значит $KD \perp AB$. 2) Имеем: $KM \perp AB$ (по условию) и $KD \perp AB$. Значит, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости треугольника $KMD$ (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). 3) Так как $AB \perp (KMD)$, то $AB \perp MD$. 4) Получили: $KM \perp AB$ (в плоскости $\beta$) и $MD \perp AB$ (в плоскости $\alpha$). Следовательно, $\angle KMD$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ с ребром $AB$, то есть угла $KABD$. 4. **Ответ: $5\sqrt{2}$ см** Диагональ прямоугольного параллелепипеда $d$ вычисляется по формуле: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$, где $a, b, c$ — его измерения. $d = \sqrt{4^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ см.