Перпендикулярность прямых и плоскостей. Углы между прямыми и плоскостями. Контрольная работа. Вариант А1.

**Задание 1.** Ответ: 40 Решение: 1. Так как $CK \perp (ABC)$, то треугольник $KCM$ прямоугольный ($∠KCM = 90^°$), где $M$ — середина гипотенузы $AB$. 2. В прямоугольном $△KCM$ по теореме Пифагора: $CM = √{KM^2 - CK^2} = √{41^2 - 40^2} = √{(41-40)(41+40)} = √{81} = 9$. 3. В прямоугольном $△ABC$ медиана $CM$, проведённая к гипотенузе, равна её половине: $CM = ½ AB$. 4. $AB = 2 ⋅ CM = 2 ⋅ 9 = 18$. **Задание 2.** Ответ: 17 Решение: 1. $OK ⊥ (ABC)$, значит $△OKB$ — прямоугольный ($∠KOB = 90^°$). 2. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам: $OB = ½ BD$. 3. Диагональ квадрата $BD = AC = 16$. Тогда $OB = 16 / 2 = 8$. 4. По теореме Пифагора для $△OKB$: $BK = √{OK^2 + OB^2} = √{15^2 + 8^2} = √{225 + 64} = √{289} = 17$. **Задание 3.** Ответ: 9 Решение: 1. Так как $∠MBA = ∠MBC = 90^°$, то прямая $MB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости квадрата ($AB$ и $BC$), следовательно $MB ⊥ (ABC)$. 2. Так как $MB ⊥ (ABC)$, то $MB ⊥ BD$ (где $BD$ — диагональ квадрата). $△MBD$ — прямоугольный. 3. Диагональ квадрата $BD = AB√{2} = 4√{2}$. 4. По теореме Пифагора для $△MBD$: $MD = √{MB^2 + BD^2} = √{7^2 + (4√{2})^2} = √{49 + 32} = √{81} = 9$. **Задание 4.** Ответ: 25 Решение: 1. Отрезки $AA_1$ и $BB_1$ параллельны, так как они перпендикулярны одной плоскости. Четырёхугольник $AA_1B_1B$ — прямоугольная трапеция (так как $AA_1 ⊥ A_1B_1$). 2. Проведём высоту $AH$ из точки $A$ на прямую $BB_1$. $A_1B_1 = AH$. 3. В прямоугольном $△ABH$ катет $BH = |BB_1 - AA_1| = |18,3 - 9,3| = 9$. 4. По теореме Пифагора для $△ABH$: $A_1B_1 = AH = √{AB^2 - BH^2} = √{15^2 - 9^2} = √{225 - 81} = √{144} = 12$. **Задание 5.** Ответ: 5 Решение: 1. Пусть $M$ — середина общей гипотенузы $AB$. В равнобедренных прямоугольных треугольниках медианы $CM$ и $DM$ являются также высотами. 2. $CM = DM = ½ AB = ½ ⋅ 10 = 5$. 3. Так как плоскости треугольников перпендикулярны, то $CM ⊥ DM$ (линия пересечения $AB$). 4. В прямоугольном $△CMD$: $CD = √{CM^2 + DM^2} = √{5^2 + 5^2} = 5√{2} ≈ 7,07$. **Задание 6.** Ответ: 4 Решение: 1. В прямоугольном параллелепипеде $B_1D$ — диагональ. Квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений: $B_1D^2 = AB^2 + BC^2 + BB_1^2$. 2. Нам даны $AB = 2$, $BC = B_1C_1 = √{3}$, $BB_1 = DD_1 = 3$. 3. $B_1D = √{2^2 + (√{3})^2 + 3^2} = √{4 + 3 + 9} = √{16} = 4$.