Контрольная работа №2 по теме: "Перпендикулярность прямых и плоскостей" и "Углы между прямыми и плоскостями". Вариант 2.

### № 1. 1. В ромбе $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны и точкой пересечения $O$ делятся пополам. Следовательно, $BO = OD = 6 : 2 = 3$ см. 2. Треугольник $AOB$ — прямоугольный ($\angle AOB = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $AO = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см. Значит, $OC = 4$ см. 3. Так как $OM \perp (ABC)$, то $OM$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, включая $OA$ и $OB$. Треугольники $MOA$, $MOB$, $MOC$ и $MOD$ — прямоугольные. 4. Расстояния до вершин: $MA = MC = \sqrt{OM^2 + OA^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ см. $MB = MD = \sqrt{OM^2 + OB^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}$ см. **Ответ:** $4\sqrt{5}$ см и $\sqrt{73}$ см. ### № 2. 1. Расстояние от $A$ до $BC$ — это высота $AH$ равнобедренного треугольника $ABC$. Так как треугольник равнобедренный ($AB=AC$), высота $AH$ является медианой: $BH = HC = 8 : 2 = 4$ см. 2. Из $\triangle ABH$ по теореме Пифагора: $AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см. 3. Расстояние от $E$ до $BC$ — это наклонная $EH$. По теореме о трех перпендикулярах, так как $EA \perp (ABC)$ и $AH \perp BC$, то $EH \perp BC$. Из $\triangle EAH$: $EH = \sqrt{EA^2 + AH^2} = \sqrt{4^2 + (\sqrt{20})^2} = \sqrt{16 + 20} = \sqrt{36} = 6$ см. **Ответ:** $2\sqrt{5}$ см и $6$ см. ### № 3. 1) $SD$ и $AB$: $AB \perp AD$ (т.к. трапеция прямоугольная), но $AB$ не перпендикулярна плоскости $(SAD)$, так как угол $\angle DAB = 90^\circ$, но $AB$ не перпендикулярна $SA$ (они в одной плоскости). Не подходит. 2) $SA$ и $DB$: $SA \perp (ABC)$ по условию. Если прямая перпендикулярна плоскости, она перпендикулярна любой прямой в ней. Значит, $SA \perp DB$. Не подходит (нужны скрещивающиеся или пересекающиеся пары, которые образуют 90 градусов). 3) $CD$ и $SA$: Аналогично п. 2, $SA \perp (ABC) \implies SA \perp CD$. Но обычно ищут перпендикулярность сторон основания и граней. Проверим 4. 4) $SB$ и $CB$: $CB \perp AB$ (углы $A$ и $B$ прямые в трапеции). $SA \perp (ABC)$, значит $AB$ — проекция $SB$ на плоскость. По теореме о трех перпендикулярах, если $CB \perp AB$, то $CB \perp SB$. **Ответ:** 4) прямые $SB$ и $CB$. ### № 4. 1. Угол между плоскостями — это линейный угол двугранного угла. Проведем перпендикуляры к линии пересечения $BC$. 2. В ромбе $ABCD$ проведем высоту $DH \perp BC$. Так как $KD \perp (ABC)$, то по теореме о трех перпендикулярах $KH \perp BC$. 3. $\angle KHD$ — искомый угол. **Ответ:** $\angle KHD$. ### № 5. 1. $\triangle ABC$ прямоугольный, $\angle B = 90^\circ$ (судя по чертежу). По теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = 12$ см. 2. Так как $NA \perp AB$ и $AB \perp BC$, то по теореме о трех перпендикулярах $NB \perp BC$. Значит, расстояние от $N$ до $BC$ — это отрезок $NB$. 3. В $\triangle NAB$ ($\angle A = 90^\circ$): $NB = \sqrt{NA^2 + AB^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см. **Ответ:** 13 см.