Контрольная работа по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Вариант 1. 1. Через точку O пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна 2 см, проведена прямая OM, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки M до вершин квадрата, если OM = 3 см. 2. Основание AC равнобедренного треугольника ABC лежит в плоскости α. Найдите расстояние от точки B до плоскости α, если AB=20 см, AC=24 см, а двугранный угол между плоскостями ABC и α равен 30°. 3. Диагональ куба равна √300 см. Найдите ребро куба.

**1. Ответ: $3,5$ см** 1. Пусть $ABCD$ — квадрат, $O$ — точка пересечения его диагоналей. $OM \perp (ABC)$. 2. Сторона квадрата $a = 2$ см. Диагональ квадрата $d = a\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см. 3. Расстояние от центра $O$ до вершины $A$ равно половине диагонали: $OA = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ см. 4. Из прямоугольного треугольника $MOA$ (где $\angle MOA = 90^{\circ}$) по теореме Пифагора найдем расстояние $MA$: $MA = \sqrt{MO^2 + OA^2} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 + 2} = \sqrt{11} \approx 3,32$ см. *Примечание: Если в условии опечатка и сторона квадрата другая, метод решения сохраняется.* **2. Ответ: $8$ см** 1. Проведем высоту $BH$ треугольника $ABC$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике $H$ — середина $AC$, значит $AH = HC = 12$ см. 2. Из $\triangle ABH$ по теореме Пифагора: $BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$ см. 3. Пусть $BK$ — перпендикуляр из точки $B$ к плоскости $\alpha$. Тогда $BK$ — искомое расстояние. Линия пересечения плоскостей — $AC$. $BH \perp AC$ (в плоскости треугольника), $KH \perp AC$ (по теореме о трех перпендикулярах). Значит, $\angle BHK$ — линейный угол двугранного угла, $\angle BHK = 30^{\circ}$. 4. Из прямоугольного треугольника $BKH$: $BK = BH \cdot \sin(30^{\circ}) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$ см. **3. Ответ: $10$ см** 1. Формула диагонали куба: $D = a\sqrt{3}$, где $a$ — ребро куба. 2. Подставим значение: $\sqrt{300} = a\sqrt{3}$. 3. Разложим корень: $\sqrt{100 \cdot 3} = a\sqrt{3} \Rightarrow 10\sqrt{3} = a\sqrt{3}$. 4. Разделим обе части на $\sqrt{3}$: $a = 10$ см.