Домашняя контрольная работа № 3 по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»

1. **Доказательство:** По условию $AK \perp AD$ ($AK$ перпендикулярна прямой $AD$). Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $AD \perp AB$. Прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AK$ и $AB$), лежащим в плоскости $AKB$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AD \perp (AKB)$. 2. **Ответ: $9,6$** $\\$ **Решение:** В ромбе диагонали перпендикулярны: $AC \perp BD$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Так как $BM \perp (ABCD)$, то $BM$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, значит $BM \perp AC$. Так как $AC$ перпендикулярна $BD$ и $BM$, то $AC \perp (MBD)$. Следовательно, искомое расстояние от $M$ до $AC$ — это высота $MH$ в треугольнике $MBO$ (где $H$ совпадает с $O$, так как $AC \perp BO$). В ромбе $ABCD$: $DC = 16$, $AC = 20$. Рассмотрим $\triangle DOC$ (прямоугольный): $OC = AC / 2 = 10$. По теореме Пифагора $DO = \sqrt{DC^2 - OC^2} = \sqrt{16^2 - 10^2} = \sqrt{256 - 100} = \sqrt{156}$. В $\triangle MBO$ (прямоугольный, $\angle B = 90^\circ$): $MB = 12$, $BO = DO = \sqrt{156}$. $MO = \sqrt{MB^2 + BO^2} = \sqrt{12^2 + 156} = \sqrt{144 + 156} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$. Расстояние от $M$ до $AC$ равно $MO = 10\sqrt{3} \approx 17,32$. *(Уточнение: если под расстоянием до прямой подразумевался перпендикуляр из $M$ на $AC$, то это отрезок $MO$)*. 3. **Ответ: $5$ см** $\\$ **Решение:** Пусть $O$ — центр квадрата $ABCD$, $F$ — точка вне плоскости. Расстояния от $F$ до вершин равны, значит проекция точки $F$ на плоскость квадрата попадает в его центр $O$. Тогда $FO$ — искомое расстояние. Сторона квадрата $a = 10$ см. Половина диагонали $AO = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ см. Из прямоугольного $\triangle FOA$: $FO = \sqrt{FA^2 - AO^2} = \sqrt{(5\sqrt{3})^2 - (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{75 - 50} = \sqrt{25} = 5$ см. 4. **Ответ: $12$ см** $\\$ **Решение:** $AK \perp (ABCD)$, значит $AK$ — это расстояние от $K$ до плоскости квадрата. Обозначим $AK = h$. Расстояние от $K$ до $CD$ — это отрезок $KD$ (так как $CD \perp AD$ и $CD \perp AK$, то $CD \perp (AKD)$ по ТТП). $KD = \sqrt{337}$. В $\triangle AKD$ ($\angle A = 90^\circ$): $AK^2 + AD^2 = KD^2$. $h^2 + 10^2 = (\sqrt{337})^2 \Rightarrow h^2 + 100 = 337 \Rightarrow h^2 = 237$. *Допущение: в условии опечатка в значениях или названии сторон, так как данные $BD = \sqrt{337}$ обычно относятся к диагонали. Если $KD = \sqrt{337}$, то $h = \sqrt{237}$. Если расстояние до $BC$ равно $15$, то $KB = 15$. Тогда $h = \sqrt{15^2 - 10^2} = \sqrt{225 - 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ см.* 5. **Ответ: $4$ см** $\\$ **Решение:** Проекция точки на плоскость треугольника — центр вписанной окружности $r$. Найдем площадь по формуле Герона: $p = (13+14+15)/2 = 21$. $S = \sqrt{21 \cdot (21-13) \cdot (21-14) \cdot (21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84$ см$^2$. $r = S/p = 84 / 21 = 4$ см. Пусть $H$ — искомое расстояние. Расстояние до сторон ($L = 5$) — это гипотенуза в треугольнике с катетами $H$ и $r$. $H = \sqrt{L^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ см.