Контрольная работа № 3 по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости». Вариант 1. Задания 1-5.

1. По условию $BF \perp BC$. Так как $ABCD$ — трапеция с боковой стороной $AB$, перпендикулярной основаниям, то $AB \perp BC$. Получаем, что прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BF$ и $AB$, лежащим в плоскости $ABF$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $BC \perp ABF$. 2. Пусть $AM$ — высота равностороннего $\triangle ABC$. Так как $\triangle ABC$ правильный со стороной 6 см, то $AM = \frac{AB\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см. По теореме о трех перпендикулярах, расстояние от $D$ до $BC$ — это отрезок $DM$, так как $DA \perp (ABC)$ и $AM \perp BC$. Из прямоугольного $\triangle DAM$ ($DA=3$): $DM = \sqrt{DA^2 + AM^2} = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6$ см. **Ответ: 6 см.** 3. Пусть $O$ — центр $\triangle ABC$. Расстояние от $D$ до вершин $A, B, C$ равно 4 см, значит $D$ проектируется в центр описанной окружности $O$. Радиус $AO = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2√3$ см. Из прямоугольного $\triangle DOA$: $DO = \sqrt{DA^2 - AO^2} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - 12} = 2$ см. **Ответ: 2 см.** 4. Проекция $E$ на плоскость $(ABC)$ — точка $D$. Расстояние от $E$ до $AB$ — это отрезок к стороне, перпендикулярный ей. По ТТП это наклонная, чья проекция $AD \perp AB$. Значит, $EA = 10$ см. Из $\triangle EDA$: $AD = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$ см. Аналогично для $BC$: расстояние $EC = 17$ см, $CD = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = 15$ см. Диагональ $AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{6^2 + 15^2} = \sqrt{36 + 225} = \sqrt{261} = 3\sqrt{29}$ см. **Ответ: 3√29 см.** 5. Точка $S$ равноудалена от сторон $\triangle ABC$, значит её проекция $H$ — центр вписанной окружности. Найдем высоту треугольника к основанию: $h = \sqrt{17^2 - 15^2} = 8$ см. Площадь $S_{abc} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 8 = 120$ см². Полупериметр $p = \frac{17+17+30}{2} = 32$ см. Радиус вписанной окружности $r = \frac{S}{p} = \frac{120}{32} = 3,75$ см. Расстояние до плоскости $SH = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 3,75^2} = \sqrt{20 - 14,0625} = \sqrt{5,9375} = \sqrt{\frac{95}{16}} = \frac{\sqrt{95}}{4}$ см. **Ответ: √95/4 см.**