Домашняя контрольная работа № 3 по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»

1. **Ответ: Доказано.** По условию $AK \perp AD$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $AD \perp AB$. Таким образом, прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AK$ и $AB$) плоскости $AKB$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $AD \perp AKB$. 2. **Ответ: $9,6$ см.** Проведем высоту ромба $BH$ к стороне $AC$. В прямоугольном $\triangle ABC$ со сторонами $AB=BC=16$ (так как $DC=16$) и диагональю $AC=20$, найдем высоту $BH$. Площадь $\triangle ABC$ по формуле Герона или через свойства ромба: $BH = \frac{AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B)}{AC}$. Проще найти высоту треугольника со сторонами $16, 16, 20$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. $BO \perp AC$. $AO = 10$. Из $\triangle ABO$: $BO = \sqrt{16^2 - 10^2} = \sqrt{256 - 100} = \sqrt{156} = 2\sqrt{39}$. Искомое расстояние от $M$ до $AC$ — это гипотенуза $MH$ в $\triangle MBH$ (где $H=O$). $MH = \sqrt{MB^2 + BO^2} = \sqrt{12^2 + (\sqrt{156})^2} = \sqrt{144 + 156} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \approx 17,32$ см. *Примечание: Если в условии под «расстоянием от точки M до прямой AC» подразумевается перпендикуляр к плоскости, то это MB=12. Если наклонная, то расчет выше.* 3. **Ответ: $5$ см.** Точка $F$ равноудалена от вершин квадрата, значит, её проекция $O$ — центр квадрата (точка пересечения диагоналей). Диагональ квадрата $d = a\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$ см. Расстояние от центра до вершины $R = \frac{d}{2} = 5\sqrt{2}$ см. Из прямоугольного $\triangle FOC$ (где $FC = 5\sqrt{3}$ — наклонная, $OC = 5\sqrt{2}$ — проекция): $FO = \sqrt{FC^2 - OC^2} = \sqrt{(5\sqrt{3})^2 - (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{75 - 50} = \sqrt{25} = 5$ см. 4. **Ответ: $20$ см.** Пусть $AK = x$. Расстояние от $K$ до $BC$ — это наклонная $KB$ (так как $AB \perp BC$ и $AK \perp ABC$). Из $\triangle KAB$: $KB^2 = AK^2 + AB^2 = x^2 + AB^2 = 15^2 = 225$. Расстояние от $K$ до $CD$ — это наклонная $KD$ (так как $AD \perp CD$). Из $\triangle KAD$: $KD^2 = AK^2 + AD^2 = x^2 + AD^2$. Из $\triangle ABD$: $BD^2 = AB^2 + AD^2 = (\sqrt{337})^2 = 337$. Сложим уравнения: $KB^2 + KD^2 = (x^2 + AB^2) + (x^2 + AD^2) = 2x^2 + (AB^2 + AD^2) = 2x^2 + BD^2$. Нам нужно найти $KD$. Заметим, что $KB^2 + KD^2$ выражается через $x$. Используем $AK=12$ (из условия задачи, вероятно, опечатка в тексте «AK=12 см» в конце): Если $AK=12$, то $AB^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81 \Rightarrow AB=9$. $AD^2 = BD^2 - AB^2 = 337 - 81 = 256 \Rightarrow AD=16$. Тогда $KD = \sqrt{AK^2 + AD^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$ см. 5. **Ответ: $4$ см.** Точка равноудалена от сторон треугольника, значит, её проекция на плоскость — центр вписанной окружности. Найдем площадь треугольника по формуле Герона: $p = \frac{13+14+15}{2} = 21$. $S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84$ см$^2$. Радиус вписанной окружности $r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4$ см. В прямоугольном треугольнике, образованном расстоянием до плоскости ($h$), радиусом ($r$) и расстоянием до сторон ($L=5$): $h = \sqrt{L^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ см.