Перпендикулярность прямых и плоскостей. Контрольная работа. Вариант А1. Задание 1. Прямая CK перпендикулярна плоскости прямоугольного треугольника ABC...

1. 1) В прямоугольном $\triangle ABC$ медиана $CM$, проведенная к гипотенузе, равна её половине: $CM = \frac{1}{2}AB$. 2) Так как $CK \perp (ABC)$, то $CK$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, значит $\triangle KCM$ — прямоугольный ($\angle KCM = 90^{\circ}$). 3) По теореме Пифагора в $\triangle KCM$: $CM^2 = KM^2 - CK^2 = 41^2 - 40^2 = (41-40)(41+40) = 1 \cdot 81 = 81$, откуда $CM = 9$. 4) $AB = 2 \cdot CM = 2 \cdot 9 = 18$. **Ответ: 18**. 2. 1) $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$. По свойствам квадрата диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам: $AC = BD = 16$, $OC = \frac{1}{2}AC = 8$. 2) Т.к. $OK \perp (ABCD)$, то $\triangle KOC$ — прямоугольный ($\angle KOC = 90^{\circ}$). 3) По теореме Пифагора в $\triangle KOC$: $KC = \sqrt{OK^2 + OC^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$. **Ответ: 17**. 3. 1) Так как $\angle MBA = \angle MBC = 90^{\circ}$, то прямая $MB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB$ и $BC$ плоскости квадрата, следовательно $MB \perp (ABCD)$. 2) Значит, $MB \perp BD$. $\triangle MBD$ — прямоугольный. 3) В квадрате $ABCD$ диагональ $BD = AB\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$. 4) В $\triangle MBD$ по теореме Пифагора: $MD = \sqrt{MB^2 + BD^2} = \sqrt{7^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{49 + 32} = \sqrt{81} = 9$. **Ответ: 9**. 4. 1) Прямые $AA_1$ и $BB_1$ перпендикулярны плоскости $\alpha$, значит $AA_1 \parallel BB_1$. Через них можно провести плоскость, которая пересечет $\alpha$ по прямой $A_1B_1$. 2) Фигура $AA_1B_1B$ — прямоугольная трапеция (т.к. точки $A$ и $B$ по одну сторону от $\alpha$). Проведем $AK \perp BB_1$, тогда $A_1B_1 = AK$. 3) В $\triangle AKB$: $BK = |BB_1 - AA_1| = 18,3 - 9,3 = 9$. По теореме Пифагора: $AK = \sqrt{AB^2 - BK^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$. **Ответ: 12**. 5. 1) Пусть $M$ — середина $AB$. Так как треугольники равнобедренные и прямоугольные, медианы $CM$ и $DM$ являются высотами. $CM \perp AB$ и $DM \perp AB$. 2) $\angle CMD$ — линейный угол двугранного угла между плоскостями. Так как плоскости взаимно перпендикулярны, $\angle CMD = 90^{\circ}$. 3) В прямоугольном $\triangle ABC$: $CM = \frac{1}{2}AB = 5$. Аналогично в $\triangle ABD$: $DM = \frac{1}{2}AB = 5$. 4) В прямоугольном $\triangle CMD$ по теореме Пифагора: $CD = \sqrt{CM^2 + DM^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. **Ответ: $5\sqrt{2}$**. 6. 1) $B_1D$ — диагональ параллелепипеда. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: $B_1D^2 = AB^2 + BC^2 + BB_1^2$. 2) Дано: $AB = 2$, $B_1C_1 = BC = \sqrt{3}$, $DD_1 = BB_1 = 3$. 3) $B_1D = \sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 3 + 9} = \sqrt{16} = 4$. **Ответ: 4**.