7. Решите уравнение log_3(x^2 + 8x) = 2

Давай решим эти задачи. ### 7. Решите уравнение $\log_{3}(x^2 + 8x) = 2$ ОДЗ: $x^2 + 8x > 0 \implies x(x+8) > 0 \implies x \in (-\infty; -8) \cup (0; +\infty)$. По определению логарифма: $x^2 + 8x = 3^2$ $x^2 + 8x - 9 = 0$ Корни квадратного уравнения: $x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 \pm 10}{2}$ $x_1 = 1$, $x_2 = -9$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ (проверка: $1^2+8=9>0$ и $(-9)^2 + 8(-9) = 81-72=9>0$). **Ответ: 1; -9.** ### 8. Решите неравенство $\log_{1/2}(x + 11) \le \log_{1/2}(7 - x)$ ОДЗ: 1) $x + 11 > 0 \implies x > -11$ 2) $7 - x > 0 \implies x < 7$ ОДЗ: $x \in (-11; 7)$. Так как основание логарифма $1/2 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный: $x + 11 \ge 7 - x$ $2x \ge -4$ $x \ge -2$ Учитывая ОДЗ: $[-2; 7)$. **Ответ: $[-2; 7)$.** ### 9. Решите систему уравнений $\begin{cases} \log_9 x - \log_9 y = 1 \\ \log_4(x + 7y) = 3 \end{cases}$ ОДЗ: $x > 0, y > 0, x+7y > 0$. 1) $\log_9(\frac{x}{y}) = 1 \implies \frac{x}{y} = 9 \implies x = 9y$. 2) $x + 7y = 4^3 = 64$. Подставим $x = 9y$ во второе уравнение: $9y + 7y = 64$ $16y = 64$ $y = 4$. Тогда $x = 9 \cdot 4 = 36$. Оба числа положительные, значит подходят. **Ответ: (36; 4).**