1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 52°. Найдите углы при основании этого треугольника. 2. Найдите градусную меру угла DCE (рис. 50). 3. Какова градусная мера угла С, изображённого на рисунке 51? 4. Докажите, что AB = CD (рис. 52), если известно, что AB || CD и BO = CO. 5. В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠A = 60°. На катете BC отметили точку K такую, что ∠AKC = 60°. Найдите отрезок CK, если BK = 12 см.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника составляет $180^{\circ}$. 1) $180^{\circ} - 52^{\circ} = 128^{\circ}$ — сумма двух углов при основании. 2) $128^{\circ} : 2 = 64^{\circ}$. **Ответ: 64^{\circ}**. 2. На рис. 50 прямые $AB$ и $MF$ пересечены секущей $MK$. Накрест лежащие углы равны ($43^{\circ} = 43^{\circ}$), значит $AB \parallel MF$. Углы $DCE$ и $CEF$ — односторонние при параллельных прямых $AB$, $MF$ и секущей $CE$. Их сумма равна $180^{\circ}$. $\angle DCE = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$. **Ответ: 75^{\circ}**. 3. Рассмотрим треугольник $ABD$. Сумма его углов $180^{\circ}$. $\angle ADB = 180^{\circ} - 28^{\circ} - (10^{\circ} + 72^{\circ}) = 180^{\circ} - 28^{\circ} - 82^{\circ} = 70^{\circ}$. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Для $\triangle ADC$ угол $\angle BDF$ (смежный с $\angle ADB$) является внешним, но проще найти $\angle C$ через сумму углов $\triangle ABC$. $\angle ABC = 72^{\circ}$, $\angle BAC = 28^{\circ} + 10^{\circ} = 38^{\circ}$. $\angle C = 180^{\circ} - 72^{\circ} - 38^{\circ} = 70^{\circ}$. **Ответ: 70^{\circ}**. 4. Рассмотрим $\triangle ABO$ и $\triangle DCO$ (рис. 52): 1) $\angle AOB = \angle DOC$ как вертикальные. 2) $BO = CO$ по условию. 3) $\angle ABO = \angle DCO$ как накрест лежащие при $AB \parallel CD$ и секущей $BC$. Следовательно, $\triangle ABO = \triangle DCO$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (II признак). Из равенства треугольников следует, что $AB = CD$. Что и требовалось доказать. 5. В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 60^{\circ}$, тогда $\angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. В $\triangle KBC$ угол $\angle B = 30^{\circ}$. Пусть $\angle BKC = x$, тогда в $\triangle AKC$ смежный угол $\angle AKC = 60^{\circ}$. Значит, $\angle BKC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$. В $\triangle KBC$ сумма углов: $\angle KCB = 180^{\circ} - 120^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$. Так как $\angle KBC = \angle KCB = 30^{\circ}$, то $\triangle KBC$ — равнобедренный с основанием $BC$. Следовательно, $CK = BK = 12$ см. **Ответ: 12 см**.