Для функции f(x) найти первообразную, график которой проходит через точку M

Для нахождения первообразной $F(x)$, график которой проходит через точку $M(x_0; y_0)$, сначала находим общий вид первообразных $F(x) = \int f(x)dx + C$, а затем подставляем координаты точки для вычисления константы $C$. **992** 1) $f(x) = 2x + 3, M(1; 2)$ $F(x) = x^2 + 3x + C$ $1^2 + 3 \cdot 1 + C = 2 \Rightarrow 4 + C = 2 \Rightarrow C = -2$ Ответ: $F(x) = x^2 + 3x - 2$ 2) $f(x) = 4x - 1, M(-1; 3)$ $F(x) = 2x^2 - x + C$ $2(-1)^2 - (-1) + C = 3 \Rightarrow 2 + 1 + C = 3 \Rightarrow C = 0$ Ответ: $F(x) = 2x^2 - x$ 3) $f(x) = \sin 2x, M\left(\frac{\pi}{2}; 5\right)$ $F(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x + C$ $-\frac{1}{2} \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) + C = 5 \Rightarrow -\frac{1}{2} \cos \pi + C = 5 \Rightarrow \frac{1}{2} + C = 5 \Rightarrow C = 4,5$ Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x + 4,5$ 4) $f(x) = \cos 3x, M(0; 0)$ $F(x) = \frac{1}{3} \sin 3x + C$ $\frac{1}{3} \sin 0 + C = 0 \Rightarrow 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0$ Ответ: $F(x) = \frac{1}{3} \sin 3x$ **993** 1) $f(x) = e^{2x} - \cos 3x$ Ответ: $F(x) = \frac{1}{2} e^{2x} - \frac{1}{3} \sin 3x$ 2) $f(x) = e^{\frac{x}{4}} + \sin 2x$ Ответ: $F(x) = 4e^{\frac{x}{4}} - \frac{1}{2} \cos 2x$ 3) $f(x) = 2 \sin \frac{x}{5} - 5e^{2x + \frac{1}{3}}$ Ответ: $F(x) = -10 \cos \frac{x}{5} - \frac{5}{2} e^{2x + \frac{1}{3}}$ 4) $f(x) = 3 \cos \frac{x}{7} + 2e^{3x - \frac{1}{2}}$ Ответ: $F(x) = 21 \sin \frac{x}{7} + \frac{2}{3} e^{3x - \frac{1}{2}}$ 5) $f(x) = \sqrt{\frac{x}{5}} + 4 \sin(4x + 2)$ $f(x) = \frac{1}{\sqrt{5}} x^{\frac{1}{2}} + 4 \sin(4x + 2)$ Ответ: $F(x) = \frac{2}{3\sqrt{5}} x^{\frac{3}{2}} - \cos(4x + 2)$ 6) $f(x) = \frac{4}{\sqrt{3x+1}} - \frac{3}{2x-5}$ Ответ: $F(x) = \frac{8}{3} \sqrt{3x+1} - \frac{3}{2} \ln|2x-5|$