1. Докажите, что функция y = F(x) является первообразной для функции y = f(x), если F(x) = sin x - 1/x, f(x) = cos x + 1/x^2. 2. Найдите первообразную для функции: а) y = 1/(x-2)^2 + 4x^3; б) y = -1/(2 cos^2 x). 3. Для функции y = (4-5x)^3 найдите ту первообразную, график которой проходит через точку А(1; 0,2).

Question

Вопрос:

1. Докажите, что функция y = F(x) является первообразной для функции y = f(x), если F(x) = sin x - 1/x, f(x) = cos x + 1/x^2. 2. Найдите первообразную для функции: а) y = 1/(x-2)^2 + 4x^3; б) y = -1/(2 cos^2 x). 3. Для функции y = (4-5x)^3 найдите ту первообразную, график которой проходит через точку А(1; 0,2).

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. Чтобы доказать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, нужно показать, что $F'(x) = f(x)$. $F'(x) = (\sin x - \frac{1}{x})' = (\sin x)' - (x^{-1})' = \cos x - (-1 \cdot x^{-2}) = \cos x + \frac{1}{x^2}$. Так как $F'(x) = f(x)$, то $F(x)$ — первообразная для $f(x)$. 2. Найдём общие первообразные $F(x)$: а) $y = (x-2)^{-2} + 4x^3$ $F(x) = \frac{(x-2)^{-1}}{-1} + 4 \cdot \frac{x^4}{4} + C = -\frac{1}{x-2} + x^4 + C$ б) $y = -\frac{1}{2 \cos^2 x}$ $F(x) = -\frac{1}{2} \tan x + C$ 3. Найдём общую первообразную для $y = (4 - 5x)^3$ по формуле $\int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C$: $F(x) = \frac{(4 - 5x)^4}{-5 \cdot 4} + C = -\frac{(4 - 5x)^4}{20} + C$ Подставим координаты точки $A(1; 0,2)$, где $x=1, F(x)=0,2$: $0,2 = -\frac{(4 - 5 \cdot 1)^4}{20} + C$ $0,2 = -\frac{(-1)^4}{20} + C$ $0,2 = -\frac{1}{20} + C$ $0,2 = -0,05 + C$ $C = 0,25$ **Ответ: $F(x) = -\frac{(4 - 5x)^4}{20} + 0,25$**

Ответ ассистента

Другие решения