Найдите общий вид первообразных для функции f (342—344).

Для нахождения общего вида первообразных $F(x)$ используется формула $F(x) = \int f(x) dx + C$. Применим основные правила интегрирования и таблицу первообразных. **342.** а) $f(x) = 2 - x^3 + x^{-3}$ Ответ: $F(x) = 2x - \frac{x^4}{4} - \frac{1}{2x^2} + C$ б) $f(x) = x - 2x^{-5} + \cos x$ Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^4} + \sin x + C$ в) $f(x) = x^{-2} - \sin x$ Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x} + \cos x + C$ г) $f(x) = 5x^2 - 1$ Ответ: $F(x) = \frac{5x^3}{3} - x + C$ **343.** Используем формулу для сложной функции: $\int g(kx+b) dx = \frac{1}{k} G(kx+b) + C$ а) $f(x) = (2x - 3)^5$ Ответ: $F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x-3)^6}{6} + C = \frac{(2x-3)^6}{12} + C$ б) $f(x) = 3 \sin 2x$ Ответ: $F(x) = 3 \cdot (-\frac{1}{2} \cos 2x) + C = -1,5 \cos 2x + C$ в) $f(x) = (4 - 5x)^7$ Ответ: $F(x) = -\frac{1}{5} \cdot \frac{(4-5x)^8}{8} + C = -\frac{(4-5x)^8}{40} + C$ г) $f(x) = -\frac{1}{3} \cos (\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4})$ Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3} \cdot 3 \sin (\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}) + C = -\sin (\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}) + C$ **344.** а) $f(x) = 3(4 - 15x)^{-4}$ Ответ: $F(x) = 3 \cdot (-\frac{1}{15}) \cdot \frac{(4-15x)^{-3}}{-3} + C = \frac{1}{15(4-15x)^3} + C$ б) $f(x) = 2 \cdot \cos^{-2} (\frac{\pi}{3} - x)$ Ответ: $F(x) = 2 \cdot (-1) \cdot \text{tg} (\frac{\pi}{3} - x) + C = -2 \text{tg} (\frac{\pi}{3} - x) + C$ в) $f(x) = 4(3x - 1)^{-2}$ Ответ: $F(x) = 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-1)^{-1}}{-1} + C = -\frac{4}{3(3x-1)} + C$ г) $f(x) = -2x^{-5} + \cos^{-2} (3x - 1)$ Ответ: $F(x) = \frac{1}{2x^4} + \frac{1}{3} \text{tg} (3x - 1) + C$ **345.** Находим общий вид, затем подставляем координаты точки для поиска $C$. а) $f(x) = 4x + x^{-2}, M(-1; 4)$ $F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + C$ Подставим $M(-1; 4)$: $4 = 2(-1)^2 - \frac{1}{-1} + C \Rightarrow 4 = 2 + 1 + C \Rightarrow C = 1$ Ответ: $F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + 1$ б) $f(x) = x^3 + 2, M(2; 15)$ $F(x) = \frac{x^4}{4} + 2x + C$ Подставим $M(2; 15)$: $15 = \frac{2^4}{4} + 2(2) + C \Rightarrow 15 = 4 + 4 + C \Rightarrow C = 7$ Ответ: $F(x) = 0,25x^4 + 2x + 7$