а) Решите уравнение cos²(x/2) - sin²(x/2) = sin(π/2 - 2x). б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [π, 5π/2].

**Ответ:** а) $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$; $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. б) $\frac{3\pi}{2}$; $\frac{5\pi}{3}$; $\frac{7\pi}{3}$; $\frac{5\pi}{2}$. **Решение:** а) Решим уравнение: $$\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = \sin \left( \frac{\pi}{2} - 2x \right)$$ 1. Используем формулу косинуса двойного угла для левой части: $$\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha$$ В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$, значит, левая часть равна $\cos x$. 2. Используем формулу приведения для правой части: $$\sin \left( \frac{\pi}{2} - 2x \right) = \cos 2x$$ 3. Получаем уравнение: $$\cos x = \cos 2x$$ $$\cos 2x - \cos x = 0$$ 4. Используем формулу двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: $$2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$$ 5. Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \leq 1$: $$2t^2 - t - 1 = 0$$ $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$ $$t_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1$$ $$t_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$$ 6. Обратная замена: - $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ (заметим, что это частный случай решения ниже, объединим их далее). - $\cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. *Примечание: Если решать через разность косинусов $\cos 2x - \cos x = -2\sin \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2} = 0$:* - $\sin \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \pi k \Rightarrow x = 2\pi k$ - $\sin \frac{3x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{3x}{2} = \pi k \Rightarrow x = \frac{2\pi k}{3}$ Общий вид корней: $x = \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$. б) Отберем корни на отрезке $\left[ \pi, \frac{5\pi}{2} \right]$ с помощью числовой окружности или неравенства: 1. Для $x = \frac{2\pi k}{3}$: - $k=2: x = \frac{4\pi}{3}$ (входит) - $k=3: x = 2\pi$ (входит) - $k=4: x = \frac{8\pi}{3} \approx 2.66\pi$ (не входит, так как $2.5\pi$ — предел) Проверим корни точнее: - $x = 2\pi k$: при $k=1$, $x=2\pi \in [\pi; 2.5\pi]$. - $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: при $k=0$, $x=\frac{2\pi}{3} < \pi$; при $k=1$, $x=\frac{8\pi}{3} > 2.5\pi$. - $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: при $k=1$, $x=\frac{4\pi}{3} \in [\pi; 2.5\pi]$.