а) Решите уравнение 1 - 4 cos²(x - 5π/12) = √3 cos 2x. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-9π/2; -3π].

**Ответ:** а) $x = \frac{5\pi}{12} + \pi k$; $x = \frac{7\pi}{12} + \pi k$; $x = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Если упростить: **$x = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi k$** и **$x = \pm \frac{7\pi}{12} + \pi k$** (или $x = \pm \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$). б) **$-\frac{53\pi}{12}$; $-\frac{43\pi}{12}$; $-\frac{41\pi}{12}$.** **Решение:** а) Воспользуемся формулой понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$: $$1 - 4 \cdot \frac{1 + \cos(2x - \frac{5\pi}{6})}{2} = \sqrt{3} \cos 2x$$ $$1 - 2(1 + \cos(2x - \frac{5\pi}{6})) = \sqrt{3} \cos 2x$$ $$-1 - 2 \cos(2x - \frac{5\pi}{6}) = \sqrt{3} \cos 2x$$ Разложим косинус разности: $\cos(2x - \frac{5\pi}{6}) = \cos 2x \cos \frac{5\pi}{6} + \sin 2x \sin \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2x + \frac{1}{2} \sin 2x$. Подставим в уравнение: $$-1 - 2(-\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2x + \frac{1}{2} \sin 2x) = \sqrt{3} \cos 2x$$ $$-1 + \sqrt{3} \cos 2x - \sin 2x = \sqrt{3} \cos 2x$$ $$-\sin 2x = 1 \Rightarrow \sin 2x = -1$$ $$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$$ *Допущение: В условии возможна опечатка в коэффициентах или знаках, так как стандартные задачи ЕГЭ часто приводят к более сложным структурам. Перепроверим исходное уравнение через формулу двойного угла для правой части.* Если решать как написано: $$\sin 2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$$ б) Отбор корней на отрезке $[-\frac{9\pi}{2}; -3\pi]$: $k = -4: x = -\frac{\pi}{4} - 4\pi = -\frac{17\pi}{4} = -4,25\pi$ (входит) $k = -3: x = -\frac{\pi}{4} - 3\pi = -\frac{13\pi}{4} = -3,25\pi$ (входит) **Ответ (уточненный по шагам выше):** а) $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) $-\frac{17\pi}{4}; -\frac{13\pi}{4}$