а) Решите уравнение cos^2 x + sin^2 (x - pi/4) = 1/2. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5pi; 6pi]

а) Решим уравнение $\cos^2 x + \sin^2(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$. Используем формулы понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ $\sin^2(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1 - \cos(2x - \frac{\pi}{2})}{2}$ Так как $\cos(2x - \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2} - 2x) = \sin 2x$, то уравнение примет вид: $\frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 - \sin 2x}{2} = \frac{1}{2}$ Умножим обе части на 2: $1 + \cos 2x + 1 - \sin 2x = 1$ $2 + \cos 2x - \sin 2x = 1$ $\cos 2x - \sin 2x = -1$ Разделим на $\sqrt{2}$: $\frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\cos(2x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ Решаем простейшее уравнение: $2x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ 1) $2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow 2x = \frac{2\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n$ 2) $2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow 2x = -\pi + 2\pi n \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi k$ Ответ а): $x = \frac{\pi}{4} + \pi n; x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ б) Найдем корни на отрезке $[5\pi; 6\pi]$. Для $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$: $5\pi \le \frac{\pi}{4} + \pi n \le 6\pi$ $4,75\pi \le \pi n \le 5,75\pi \Rightarrow n = 5$ $x = \frac{\pi}{4} + 5\pi = 5,25\pi$ Для $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$: $5\pi \le \frac{\pi}{2} + \pi n \le 6\pi$ $4,5\pi \le \pi n \le 5,5\pi \Rightarrow n = 5$ $x = \frac{\pi}{2} + 5\pi = 5,5\pi$ Ответ б): $5,25\pi; 5,5\pi$.