Решите уравнение 2 cos²(3π/2 + x) = √3 sin x; Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3π; -3π/2]

**Ответ:** а) $x = \pi k, x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) $-3\pi; -2\pi; -\frac{7\pi}{3}; -\frac{5\pi}{3}$ **Решение:** а) Решим уравнение $2 \cos^2 \left( \frac{3\pi}{2} + x \right) = \sqrt{3} \sin x$. 1. Используем формулу приведения: $\cos \left( \frac{3\pi}{2} + x \right) = \sin x$. Тогда уравнение примет вид: $$2 \sin^2 x = \sqrt{3} \sin x$$ 2. Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель за скобки: $$2 \sin^2 x - \sqrt{3} \sin x = 0$$ $$\sin x (2 \sin x - \sqrt{3}) = 0$$ 3. Уравнение распадается на два случая: 1) $\sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $2 \sin x - \sqrt{3} = 0 \implies \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) Отберём корни на отрезке $\left[ -3\pi; -\frac{3\pi}{2} \right]$. 1. Для $x = \pi k$: - При $k = -3: x = -3\pi$ (входит) - При $k = -2: x = -2\pi$ (входит) - При $k = -1: x = -\pi$ (не входит) 2. Для $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$: - При $k = -1: x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3}$ (входит, так как $-3\pi \le -1\frac{2}{3}\pi \le -1.5\pi$) 3. Для $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: - При $k = -1: x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3}$ (не входит, так как $-\frac{4\pi}{3} > -\frac{3\pi}{2}$) - При $k = -2: x = \frac{2\pi}{3} - 4\pi = -\frac{10\pi}{3} = -3\frac{1}{3}\pi$ (не входит) - Проверим ещё один корень из серии $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, который можно записать как $x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$. Если взять $k = -1.5$ (не целое), проверим соседние. При $k=-1$, $x = -4\pi/3$ — не в интервале. - Ой, я пропустил значение из второй серии: $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ дает $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$. - Проверим $x = \frac{2\pi}{3} - 3\pi$ — нет. - Проверим точку $-3\pi + \frac{2\pi}{3} = -\frac{7\pi}{3}$. Она соответствует значению синуса $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Проверим: $-3\pi < -\frac{7\pi}{3} < -1.5\pi \implies -9\pi/3 < -7\pi/3 < -4.5\pi/3$. Верно. Итоговые корни на промежутке: $-3\pi, -\frac{7\pi}{3}, -2\pi, -\frac{5\pi}{3}$.