13 a) Решите уравнение sin^2 x + cos^2 (x + pi/4) = 1/2.

### а) Решение уравнения Используем формулу понижения степени для каждого слагаемого: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$ и $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$. 1. Преобразуем уравнение: $\frac{1 - \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 2(x + \frac{\pi}{4})}{2} = \frac{1}{2}$ 2. Умножим все части на 2: $1 - \cos 2x + 1 + \cos(2x + \frac{\pi}{2}) = 1$ 3. Используем формулу приведения $\cos(2x + \frac{\pi}{2}) = -\sin 2x$: $2 - \cos 2x - \sin 2x = 1$ $-\cos 2x - \sin 2x = -1$ $\cos 2x + \sin 2x = 1$ 4. Умножим обе части на $\frac{1}{\sqrt{2}}$: $\frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ $\sin(2x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 5. Решим простейшее уравнение: $2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies 2x = 2\pi n \implies x = \pi n, \ n \in \mathbb{Z}$ $2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \implies 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}$ ### б) Отбор корней Ищем корни на отрезке $[\frac{13\pi}{2}; \frac{15\pi}{2}]$, то есть $[6,5\pi; 7,5\pi]$. 1. Для $x = \pi n$: $6,5\pi \le \pi n \le 7,5\pi$ $6,5 \le n \le 7,5 \implies n = 7$ $x = 7\pi$ 2. Для $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$: $6,5\pi \le \frac{\pi}{4} + \pi n \le 7,5\pi$ $6,25\pi \le \pi n \le 7,25\pi$ $6,25 \le n \le 7,25 \implies n = 7$ $x = \frac{\pi}{4} + 7\pi = \frac{29\pi}{4} = 7,25\pi$ **Ответ:** а) $\pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; б) $7\pi; 7,25\pi$.