а) Решите уравнение 1/sin²x - 3/cos(11π/2 + x) = -2. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2π; -π/2]

**Ответ:** а) $x = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{11\pi}{6}, \quad -\frac{7\pi}{6}$. **Решение:** а) Решим уравнение $\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{3}{\cos\left(\frac{11\pi}{2} + x\right)} = -2$. 1. Используем формулу приведения: $\cos\left(\frac{11\pi}{2} + x\right) = \cos\left(6\pi - \frac{\pi}{2} + x\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{2} + x\right) = \sin x$. 2. Уравнение принимает вид: $\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{3}{\sin x} + 2 = 0$. 3. Введем замену $t = \frac{1}{\sin x}$, где $|t| \ge 1$. $t^2 - 3t + 2 = 0$. По теореме Виета корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$. 4. Обратная замена: - $\frac{1}{\sin x} = 1 \Rightarrow \sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. Но при таких $x$ значение $\cos\left(\frac{11\pi}{2} + x\right) = \sin x = 1$ (условие существования дроби выполнено). Однако, исходное уравнение содержит $\sin^2 x$, а в формуле приведения мы получили $\sin x$. Проверим ОДЗ: $\sin x \neq 0$. - $\frac{1}{\sin x} = 2 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. 5. Заметим, что корень $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ не подходит, так как при $\sin x = 1$ исходное уравнение превращается в $1 - 3 = -2$, что верно. Но в пункте (а) обычно записывают все серии. б) Отберем корни на отрезке $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$ для $\sin x = \frac{1}{2}$ и $\sin x = 1$: - Для $\sin x = 1$: $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$ (входит в отрезок). - Для $\sin x = \frac{1}{2}$: 1) $x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$ (входит: $-2\pi < -1.83\pi < -0.5\pi$); 2) $x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6}$ (входит: $-2\pi < -1.16\pi < -0.5\pi$). *Уточнение*: При $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ выражение $\cos\left(\frac{11\pi}{2} + x\right) = \sin x = 1$. Проверим: $\frac{1}{1^2} - \frac{3}{1} = 1 - 3 = -2$. Подходит. Итоговые корни: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ и $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$.