Решите уравнение $\cos^2 x - \frac{1}{2} \sin 2x + \cos x = \sin x$.

а) Решим уравнение $\cos^2 x - \frac{1}{2} \sin 2x + \cos x = \sin x$. Используем формулу двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$: $$ \cos^2 x - \frac{1}{2} (2 \sin x \cos x) + \cos x = \sin x $$ $$ \cos^2 x - \sin x \cos x + \cos x = \sin x $$ Перенесём все слагаемые в левую часть и сгруппируем: $$ \cos^2 x - \sin x \cos x + \cos x - \sin x = 0 $$ $$ \cos x (\cos x - \sin x) + (\cos x - \sin x) = 0 $$ Вынесем общий множитель $(\cos x - \sin x)$: $$ (\cos x - \sin x)(\cos x + 1) = 0 $$ Получаем два простых уравнения: 1) $$\cos x - \sin x = 0$$ Разделим обе части на $\cos x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$, тогда $\pm 1 = 0$, что невозможно. Значит $\cos x \neq 0$): $$ 1 - \operatorname{tg} x = 0 $$ $$ \operatorname{tg} x = 1 $$ $$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ 2) $$\cos x + 1 = 0$$ $$ \cos x = -1 $$ $$ x = \pi + 2 \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \pi + 2 \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ б) Найдём корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$. Рассмотрим первую серию решений: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$. При $n=0$: $x = \frac{\pi}{4}$ (не входит в промежуток, так как $\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$) При $n=1$: $x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$. Это значение входит в промежуток, так как $\frac{5\pi}{4} = 1.25\pi$, что находится между $0.5\pi$ и $2\pi$. При $n=2$: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$ (не входит в промежуток, так как $\frac{9\pi}{4} > 2\pi$) Рассмотрим вторую серию решений: $x = \pi + 2 \pi k$. При $k=0$: $x = \pi$. Это значение входит в промежуток, так как $\frac{\pi}{2} \le \pi \le 2\pi$. При $k=1$: $x = \pi + 2\pi = 3\pi$ (не входит в промежуток, так как $3\pi > 2\pi$) **Ответ:** Корни, принадлежащие промежутку $\left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$, это $x = \frac{5\pi}{4}$ и $x = \pi$.