а) Решите уравнение 2 cos²x + 1 = 2√2 cos(3π/2 - x) б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π].

Фотография

Ответ ассистента

а) **Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ или $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$** 1. Используем формулу приведения $\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\sin x$: $$2\cos^2 x + 1 = -2\sqrt{2}\sin x$$ 2. Заменим $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$: $$2(1 - \sin^2 x) + 1 = -2\sqrt{2}\sin x$$ $$2 - 2\sin^2 x + 1 + 2\sqrt{2}\sin x = 0$$ $$2\sin^2 x - 2\sqrt{2}\sin x - 3 = 0$$ 3. Пусть $\sin x = t$, где $|t| \le 1$: $$2t^2 - 2\sqrt{2}t - 3 = 0$$ $$D = (-2\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 8 + 24 = 32 = (4\sqrt{2})^2$$ $$t_1 = \frac{2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}{4} = \frac{6\sqrt{2}}{4} = 1,5\sqrt{2} > 1 \text{ (не подходит)}$$ $$t_2 = \frac{2\sqrt{2} - 4\sqrt{2}}{4} = -\frac{2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 4. Решаем $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$: $$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ $$x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ б) **Ответ: $\frac{7\pi}{4}$** Отберем корни на отрезке $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$: 1. Для $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$: - При $k=1$: $x = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$ (входит в отрезок). 2. Для $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$: - При $k=1$: $x = 2\pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ (меньше $\frac{3\pi}{2}$). - При $k=2$: $x = 4\pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{13\pi}{4}$ (больше $3\pi$).

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи