13.2 а) Решите уравнение cos^2 x + sin^2 (x - π/4) = 1/2

а) Решим уравнение: Используем формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$: $\cos^2 x + \frac{1 - \cos(2(x - \frac{\pi}{4}))}{2} = \frac{1}{2}$ $\cos^2 x + \frac{1 - \cos(2x - \frac{\pi}{2})}{2} = \frac{1}{2}$ Так как $\cos(2x - \frac{\pi}{2}) = \sin 2x$ (по формулам приведения), получаем: $\cos^2 x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sin 2x = \frac{1}{2}$ $\cos^2 x - \frac{1}{2}\sin 2x = 0$ Учитывая, что $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$, имеем: $\frac{1 + \cos 2x}{2} - \frac{\sin 2x}{2} = 0$ $1 + \cos 2x - \sin 2x = 0$ $\cos 2x - \sin 2x = -1$ Разделим на $\sqrt{2}$: $\frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\cos(2x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ 1) $2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow 2x = -\pi + 2\pi n \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ б) Найдем корни на отрезке $[3\pi; 4\pi]$. Для серии $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$: При $k=3$: $x = \frac{\pi}{4} + 3\pi = 3,25\pi$ Для серии $x = -\frac{\pi}{2} + \pi n$: При $n=4$: $x = -\frac{\pi}{2} + 4\pi = 3,5\pi$ Ответ: а) $\frac{\pi}{4} + \pi k, -\frac{\pi}{2} + \pi n$; б) $3,25\pi, 3,5\pi$.