В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, угол ABC равен 45 градусов, CD перпендикулярно AB, CD равно 7. Найдите AB.

**Ответ: 14** **Решение:** 1. Рассмотрим $\triangle ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$. Так как $\angle C = 90^{\circ}$ и $\angle ABC = 45^{\circ}$, то: $$\angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$$ Следовательно, $\triangle ABC$ — равнобедренный прямоугольный треугольник ($AC = BC$). 2. Рассмотрим $\triangle CDB$. Так как $CD \perp AB$, то $\angle CDB = 90^{\circ}$. В этом треугольнике: $$\angle DCB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$$ Значит, $\triangle CDB$ — равнобедренный, и $BD = CD = 7$. 3. Рассмотрим $\triangle CDA$. В нём $\angle ADC = 90^{\circ}$ и $\angle CAD = 45^{\circ}$. Тогда: $$\angle ACD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$$ Значит, $\triangle CDA$ — также равнобедренный, и $AD = CD = 7$. 4. Отрезок $AB$ равен сумме отрезков $AD$ и $DB$: $$AB = AD + DB = 7 + 7 = 14$$