В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CD=8. Угол DBC=45 градусов. Найдите AB.

**Ответ: 16** **Решение:** 1. Рассмотрим $\triangle DCB$. Так как $CD$ — высота, то $\angle CDB = 90^\circ$, значит $\triangle DCB$ — прямоугольный. 2. По условию $\angle DBC = 45^\circ$. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$, значит: $$\angle DCB = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$$ Так как углы при основании равны, $\triangle DCB$ — равнобедренный, следовательно, $DB = CD = 8$. 3. В исходном прямоугольном $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) угол $\angle B = 45^\circ$. Тогда второй острый угол: $$\angle A = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$$ 4. Рассмотрим $\triangle ACD$. Он прямоугольный ($\angle ADC = 90^\circ$) и в нём $\angle A = 45^\circ$. Значит, $\triangle ACD$ также равнобедренный, и $AD = CD = 8$. 5. Находим гипотенузу $AB$: $$AB = AD + DB = 8 + 8 = 16$$