Дано: ΔABC, ∠C=90°, ∠ABC=45°, CD⊥AB, CD=8. Найти: AB.

**Ответ: 16** **Решение:** 1. Рассмотрим $\triangle ABC$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Найдем $\angle A$: $$\angle A = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$$ Так как $\angle A = \angle B = 45^\circ$, треугольник $ABC$ — равнобедренный ($AC = BC$). 2. Рассмотрим $\triangle CDB$ (он прямоугольный, так как $CD \perp AB$): $$\angle DCB = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$$ Значит, $\triangle CDB$ — равнобедренный, следовательно, $DB = CD = 8$. 3. Рассмотрим $\triangle CDA$ (он прямоугольный, так как $CD \perp AB$): $$\angle ACD = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$$ Значит, $\triangle CDA$ — равнобедренный, следовательно, $AD = CD = 8$. 4. Найдем гипотенузу $AB$: $$AB = AD + DB = 8 + 8 = 16$$