Дано: DB ⊥ (ABC), ∠BAC = 90°, AB = DB, BC = 4√3. Найти: DC.

1. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как $\angle BAC = 90^\circ$ (по условию), то по теореме Пифагора: $AC^2 + AB^2 = BC^2$ $AC^2 + AB^2 = (4\sqrt{3})^2 = 48$ 2. Рассмотрим треугольник $\triangle DBA$. Так как $DB \perp (ABC)$, то $DB \perp AB$, значит $\triangle DBA$ — прямоугольный. По условию $AB = DB$, следовательно, $\triangle DBA$ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Тогда $\angle DAB = 45^\circ$. 3. Рассмотрим треугольник $\triangle DBC$. Так как $DB \perp (ABC)$, то $DB \perp BC$. По теореме Пифагора: $DC^2 = DB^2 + BC^2$ $DC^2 = DB^2 + 48$ 4. Из чертежа видно, что $\angle DAC = 45^\circ$. Поскольку $DB \perp (ABC)$, а $BA \perp AC$ (по условию), то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $DA \perp AC$. Значит, $\triangle DAC$ — прямоугольный ($\angle DAC = 90^\circ$). Однако на чертеже отмечен угол $\angle ADC = 45^\circ$. Будем исходить из данных чертежа, где $\angle ADC = 45^\circ$ в $\triangle DAC$ с прямым углом $A$. Тогда в $\triangle DAC$: $AC = DA \cdot \text{tg}(45^\circ) = DA$. 5. В $\triangle DBA$ по теореме Пифагора: $DA^2 = DB^2 + AB^2$. Так как $AB = DB$, то $DA^2 = 2DB^2$. Тогда $AC^2 = DA^2 = 2DB^2$. 6. Подставим $AC^2 = 2DB^2$ и $AB^2 = DB^2$ в уравнение из шага 1: $2DB^2 + DB^2 = 48$ $3DB^2 = 48$ $DB^2 = 16 \Rightarrow DB = 4$ 7. Находим $DC$ из шага 3: $DC^2 = 16 + 48 = 64$ $DC = \sqrt{64} = 8$ **Ответ: 8**