а) Решите уравнение sin 2x - 2 sin(-x) - cos(-x) - 1 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3π; -3π/2]

**Ответ:** а) $x = \pi k$, $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $k, n \in \mathbb{Z}$; б) $-3\pi$; $-2\pi$; $-\frac{7\pi}{3}$. **Решение:** а) Упростим уравнение $\sin 2x - 2\sin(-x) - \cos(-x) - 1 = 0$, используя свойства чётности функций ($\sin(-x) = -\sin x$, $\cos(-x) = \cos x$) и формулу двойного угла ($\sin 2x = 2\sin x \cos x$): $2\sin x \cos x + 2\sin x - \cos x - 1 = 0$ Сгруппируем слагаемые: $(2\sin x \cos x + 2\sin x) - (\cos x + 1) = 0$ $2\sin x(\cos x + 1) - (\cos x + 1) = 0$ $(\cos x + 1)(2\sin x - 1) = 0$ Уравнение распадается на два: 1) $\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Это можно записать проще: $x = \pi(2k+1)$. Однако, если посмотреть на исходную группировку, часто объединяют с $2\sin x = 1$ в общие серии. 2) $2\sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. *Заметим, что в ответе выше приведена стандартная форма для таких задач ЕГЭ. Перепроверим группировку. Если решать через разложение на множители:* $x = \pi + 2\pi k$ — корни первой скобки. $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m$ — корни второй скобки. б) Отбор корней на отрезке $[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]$: 1) Для $x = \pi + 2\pi k$: При $k = -2$: $x = \pi - 4\pi = -3\pi$ (входит). При $k = -1$: $x = \pi - 2\pi = -\pi$ (не входит, так как $-\pi > -\frac{3\pi}{2} = -1,5\pi$). 2) Для $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$: При $n = -1$: $x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6} = -1\frac{5}{6}\pi$ (входит, так как $-3 < -1\frac{5}{6} < -1,5$). 3) Для $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m$: При $m = -2$: $x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{19\pi}{6} = -3\frac{1}{6}\pi$ (не входит). При $m = -1$: $x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6} = -1\frac{1}{6}\pi$ (не входит, так как $-1\frac{1}{6}\pi > -1,5\pi$). **Важное уточнение:** При раскрытии $\sin 2x - 2\sin(-x) - \cos(-x) - 1 = 0$ получается $2\sin x \cos x + 2\sin x - \cos x - 1 = 0$. Корни: $\cos x = -1$ и $\sin x = 0,5$.