Решите уравнение $\sin^2 x + \cos x = -\frac{1}{2} \sin 2x - \sin x$.

а) Решим уравнение $\sin^2 x + \cos x = -\frac{1}{2} \sin 2x - \sin x$. Используем формулу двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ и основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$. Заменим $\sin^2 x$ и $\sin 2x$ в уравнении: $$1 - \cos^2 x + \cos x = -\frac{1}{2} (2 \sin x \cos x) - \sin x$$ $$1 - \cos^2 x + \cos x = -\sin x \cos x - \sin x$$ Перенесем все члены в левую часть: $$1 - \cos^2 x + \cos x + \sin x \cos x + \sin x = 0$$ Сгруппируем члены: $$(1 - \cos^2 x) + (\cos x + \sin x \cos x + \sin x) = 0$$ Разложим $(1 - \cos^2 x)$ как разность квадратов: $(1 - \cos x)(1 + \cos x)$. Вынесем $\cos x$ из второй группы: $\cos x (1 + \sin x)$. $$ (1 - \cos x)(1 + \cos x) + \cos x (1 + \sin x) + \sin x = 0$$ Это не привело к очевидному упрощению. Попробуем сгруппировать по-другому. Вернемся к: $1 - \cos^2 x + \cos x + \sin x \cos x + \sin x = 0$ Сгруппируем по $\sin x$ и по $\cos x$: $(1 - \cos^2 x) + (\cos x + \sin x) + \sin x \cos x = 0$ $$ (1+\sin x) + (\cos x + \sin x \cos x) - \cos^2 x = 0$$ $$ (1+\sin x) + \cos x (1+\sin x) - \cos^2 x = 0$$ Вынесем $(1+\sin x)$ за скобки: $$(1 + \sin x)(1 + \cos x) - \cos^2 x = 0$$ Заменим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $$(1 + \sin x)(1 + \cos x) - (1 - \sin^2 x) = 0$$ $$(1 + \sin x)(1 + \cos x) - (1 - \sin x)(1 + \sin x) = 0$$ Вынесем $(1 + \sin x)$ за скобки: $$(1 + \sin x) [ (1 + \cos x) - (1 - \sin x) ] = 0$$ $$(1 + \sin x) (1 + \cos x - 1 + \sin x) = 0$$ $$(1 + \sin x) (\cos x + \sin x) = 0$$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $1 + \sin x = 0$ $\sin x = -1$ $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ 2) $\cos x + \sin x = 0$ Разделим на $\cos x$ (при условии $\cos x \neq 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$. Тогда из $\cos x + \sin x = 0$ следует $0 + \sin x = 0$, то есть $\sin x = 0$. Это невозможно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$). $1 + \frac{\sin x}{\cos x} = 0$ $1 + \operatorname{tg} x = 0$ $\operatorname{tg} x = -1$ $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$ б) Укажем корни уравнения, принадлежащие отрезку $[-\pi; \frac{\pi}{2}]$. Для первой серии корней: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ $$- \pi \le -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le \frac{\pi}{2}$$ Разделим все части неравенства на $\pi$: $$-1 \le -\frac{1}{2} + 2n \le \frac{1}{2}$$ Прибавим $\frac{1}{2}$ ко всем частям неравенства: $$-1 + \frac{1}{2} \le 2n \le \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$$ $$-\frac{1}{2} \le 2n \le 1$$ Разделим все части неравенства на 2: $$-\frac{1}{4} \le n \le \frac{1}{2}$$ Единственное целое значение $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это $n = 0$. При $n = 0$, $x = -\frac{\pi}{2}$. Для второй серии корней: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$ $$- \pi \le -\frac{\pi}{4} + \pi k \le \frac{\pi}{2}$$ Разделим все части неравенства на $\pi$: $$-1 \le -\frac{1}{4} + k \le \frac{1}{2}$$ Прибавим $\frac{1}{4}$ ко всем частям неравенства: $$-1 + \frac{1}{4} \le k \le \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$$ $$-\frac{3}{4} \le k \le \frac{3}{4}$$ Единственное целое значение $k$, удовлетворяющее этому неравенству, это $k = 0$. При $k = 0$, $x = -\frac{\pi}{4}$. **Ответ:** Корни, принадлежащие отрезку $[-\pi; \frac{\pi}{2}]$, это $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = -\frac{\pi}{4}$.